《2026年江苏13大市中考名卷优选38套数学》

24 (12 分)综合与实践: 学校数学兴趣小组围绕$``$校园花圃方案设计$"$开展主题学习活动.
已知花圃一边靠墙(墙的长度不限), 其余部分用总长为$60 \mathrm{~m}$的栅栏围成, 兴趣小组设计了以下两种方案:

(1) 求方案一中与墙垂直的边的长度;
(2) 要使方案二中花圃的面积最大, 与墙平行的边的长度为多少米?

答案： 24解：
(1)设方案一中与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为(60−2x)m.
根据题意，得x(60−2x)=450，解得x₁=x₂=15，
所以方案一中与墙垂直的边的长度为15m.
(2)设方案二中与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm².
根据题意，得S=$\frac{1}{3}$t(66−t)=−$\frac{1}{3}$t²+22t=−$\frac{1}{3}$(t−33)²+363.
因为−$\frac{1}{3}$＜0，
所以当t=33时，S有最大值363，
所以当方案二中当与墙平行的边的长度为33m时，花圃的面积最大.

25 (13 分)如图, 在矩形$A B C D$中, 对角线$A C, B D$相交于点$O, M$是$B C$的中点, $D M$交$A C$于点$G$.
(1) 求证: $A G=2 G C$;
(2) 设$\angle B C D, \angle B D C$的平分线交于点$I$.
①当$A B=6, B C=8$时, 求点$I$到$B C$的距离;
②若$A B+A C=2 B C$, 作直线$G I$分别交$B D, C D$于$E, F$两点, 求$\frac{E F}{B C}$的值.

答案：
25
(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，
所以AD//BC，AD=BC，
所以△ADG∽△CMG，所以$\frac{AG}{CG}$=$\frac{AD}{CM}$.
因为M是BC的中点，所以BC=2CM，
所以AD=2CM，所以$\frac{AG}{CG}$=2，
所以AG=2GC.
(2)解：①在Rt△ABC中，因为AB=6，BC=8，
所以AC=$\sqrt{AB²+BC²}$=$\sqrt{6²+8²}$=10，
所以BD=AC=10.
如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H.
设IH=r，则$\frac{1}{2}$(BC+CD+BD)·r=$\frac{1}{2}$BC·CD，
即$\frac{1}{2}$×(8+6+10)×r=$\frac{1}{2}$×8×6，
解得r=2，即IH=2，
所以点I到BC的距离为2.

②解法一：如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q.
设IH=r，AB=CD=c，AC=BD=b，
由AB+AC=2BC，得BC=$\frac{c+b}{2}$.
在△BCD中，$\frac{1}{2}$(BD+CD+BC)·r=$\frac{1}{2}$BC·CD，则$\frac{1}{2}$(b+c+$\frac{c+b}{2}$)·r=$\frac{1}{2}$·$\frac{c+b}{2}$·c，
解得r=$\frac{1}{3}$c.
因为GQ//AB，所以△CGQ∽△CAB，
所以$\frac{GQ}{AB}$=$\frac{CG}{CA}$.
由
(1)，得AG=2GC，所以AC=3GC，
所以$\frac{GQ}{AB}$=$\frac{1}{3}$，所以GQ=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$c，
所以GQ=IH.
因为IH⊥BC，GQ⊥BC，所以GQ//IH，
所以四边形GQHI是平行四边形，
所以GI//QH，即EF//BC，
所以△DEF∽△DBC，所以$\frac{EF}{BC}$=$\frac{DF}{DC}$.
又GF//AD，所以$\frac{DF}{DC}$=$\frac{AG}{AC}$，
所以$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$=$\frac{2}{3}$.
解法二：如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q.
因为AB+AC=2BC，且AB²+BC²=AC²，
所以AB²+BC²=(2BC−AB)²，
所以3BC=4AB，所以AB:BC:AC=3:4:5.
设CD=AB=3m，则BC=4m，BD=AC=5m，
易知点I是Rt△BCD的内心，
所以IH=$\frac{BC+CD−BD}{2}$=$\frac{4m+3m−5m}{2}$=m.
因为GQ//AB，所以△CGQ∽△CAB，
所以$\frac{GQ}{AB}$=$\frac{CG}{CA}$.
因为AG=2GC，所以AC=3GC，
所以$\frac{GQ}{AB}$=$\frac{1}{3}$，所以GQ=$\frac{1}{3}$AB=m，
所以GQ=IH.
因为IH⊥BC，GQ⊥BC，所以GQ//IH，
所以四边形GQHI是平行四边形，
所以GI//QH，即EF//BC，
所以△DEF∽△DBC，所以$\frac{EF}{BC}$=$\frac{DF}{DC}$.
又GF//AD，所以$\frac{DF}{DC}$=$\frac{AG}{AC}$，
所以$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$=$\frac{2}{3}$.