《2026年江苏13大市中考名卷优选38套数学》

22 (12 分)为继承和弘扬中华优秀传统文化, 某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动.

已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生, 求下列事件的概率:
(1) 小明到南通博物苑参加社会实践活动;
(2) 小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动.

答案： 22解：
(1)小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为$\frac{1}{4}$.
(2)设A，B，C，D分别表示南通博物苑、南通城市博物馆、南通大剧院、南通美术馆四个场所，列表如下：
A B C D
A (A，A)(A，B)(A，C)(A，D)
B (B，A)(B，B)(B，C)(B，D)
C (C，A)(C，B)(C，C)(C，D)
D (D，A)(D，B)(D，C)(D，D)
共有16种等可能的结果，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果有1种，所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为$\frac{1}{16}$.

23 (10 分)如图,$P A$与$\odot O$相切于点$A, A C$为$\odot O$的直径, 点$B$在$\odot O$上, 连接$P B, P C$, 且$P A=P B$.
(1) 连接$O B$, 求证: $O B \perp P B$;
(2) 若$\angle A P B=60^{\circ}, P A=2 \sqrt{3}$, 求图中阴影部分的面积.

答案： 23
(1)证明：证法一：连接OP.
因为PA与⊙O相切，OA为⊙O的半径，所以OA⊥PA，所以∠OAP=90°.
在△AOP和△BOP中，$\begin{cases}OA=OB\\PA=PB\\OP=OP\end{cases}$，
所以△AOP≌△BOP(SSS)，
所以∠OBP=∠OAP=90°，所以OB⊥PB.
证法二：连接AB.
因为PA与⊙O相切，OA为⊙O的半径，所以OA⊥PA，所以∠OAP=90°.
因为OA=OB，PA=PB，
所以∠OAB=∠OBA，∠PAB=∠PBA，
所以∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，
所以∠OBP=∠OAP=90°，所以OB⊥PB.
(2)解：连接BC.
由
(1)，得∠OBP=∠OAP=90°.
因为∠APB=60°，
所以∠AOB=120°，所以∠COB=60°.
因为OB=OC，所以△BOC为等边三角形，所以∠OCB=60°.
易证△AOP≌△BOP(SSS)，所以∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
所以∠AOP=∠OCB，所以OP//BC.
在Rt△AOP中，∠AOP=60°，PA=2$\sqrt{3}$，所以OA=$\frac{PA}{tan∠AOP}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=2.
因为OP//BC，所以S△PCB=S△OCB，
所以S阴影部分=S扇形OCB=$\frac{60π×2²}{360}$=$\frac{2π}{3}$.