《2026年江苏13大市中考名卷优选38套数学》

8 小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上,小丽家位于小华家和图书馆之间,小华家到小丽家、图书馆的距离分别为$ 300 \, m $,$ 1800 \, m $.若小华、小丽各自从自己家同时出发,分别以$ v_1 \, m/min $,$ v_2 \, m/min $的速度匀速前往图书馆,则两人恰好同时到达.现两人各自从自己家同时出发,小丽仍然以$ v_2 \, m/min $的速度匀速前往图书馆,小华先以$\frac{5}{4} v_1 \, m/min$的速度追赶小丽,与小丽相遇后,再以$ v_2 \, m/min $的速度与小丽一同前往图书馆,则小华到图书馆的距离$ y( m) $与行进时间$ x( min) $之间的函数图像可能是（A）

答案： 8A　解析:解法一:小丽家到图书馆的距离为1800 - 300 = 1500(m),由题意,得$\frac{1800}{v_1} = \frac{1500}{v_2}$，即$v_1 = \frac{6}{5}v_2$，经检验符合题意，所以现在小华开始的速度为$\frac{5}{4}v_1 = \frac{5}{4} × \frac{6}{5}v_2 = \frac{3}{2}v_2$(m/min).设小华t min后与小丽相遇.由题意,得$\frac{3}{2}v_2t = v_2t + 300$，则$v_2t = 600$，所以相遇时小华到图书馆的距离为$1800 - \frac{3}{2}v_2t = 900$(m)，再结合小华开始的速度为$\frac{3}{2}v_2$m/min，大于后面的速度$v_2$m/min，则开始的900m所用时间小于后面的900m所用时间，可知只有A符合题意，故选A.
解法二:小丽家到图书馆的距离为1800 - 300 = 1500(m)，由题意,得$\frac{1800}{v_1} = \frac{1500}{v_2}$，所以$v_1 = \frac{6}{5}v_2$，经检验符合题意，所以现在小华开始的速度为$\frac{5}{4}v_1 = \frac{5}{4} × \frac{6}{5}v_2 = \frac{3}{2}v_2$(m/min).设小华行驶S m后与小丽相遇后.由题意,得$\frac{S}{\frac{3}{2}v_2} = \frac{S - 300}{v_2}$，则$S = 900$，所以相遇时小华到图书馆的距离为$1800 - 900 = 900$(m)，再结合小华开始的速度为$\frac{3}{2}v_2$m/min，大于后面的速度$v_2$m/min，则开始的900m对应的函数图像更陡峭，可知只有A符合题意,故选A.
Plus疑难突破：本题考查行程问题，分式方程，函数图像。本题依据行程问题数量关系列分式方程，从而绘制函数图像。本题的难点是解题中有两个未知数，对于多元问题的理解和解题要求较高，本题未知数既可以设相遇时间也可设相遇时所走过的路程。利用|k|的几何意义，借助直线倾斜程度解题，速度更快。

9 $ 4 $的算术平方根是2.

答案： 92

10 计算:$ (a^2)^3 = $$a^6$$ $.

答案： 10$a^6$

11 分解因式:$ x^2 - 9y^2 = $$(x - 3y)(x + 3y)$$ $.

答案： 11$(x - 3y)(x + 3y)$

12 太阳的半径约为$ 700000 \, km $,数据$ 700000 $用科学记数法表示为$7 × 10^5$.

答案： 12$7 × 10^5$

13 若$\frac{x}{3} ＞ \frac{y}{3}$,则$ x - y $＞$ 0 $.（填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”）

答案： 13＞

14 若关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 2x + m = 0 $有两个相等的实数根,则实数$ m $的值为1.

答案： 141

15 如图,已知$ AB // CD $,$ AC \perp AD $,$ \angle ACD = 50° $,则$ \angle \alpha = $$40^{\circ}$$ $.

答案： 15$40^{\circ}$

16 如图,在$□ ABCD$中,$ E $是$ AD $上一点,$ DE = 2AE $,$ CE,BA $的延长线相交于点$ F $.若$ AB = 2 $,则$ AF = $1$ $.

答案： 161　解析:解法一:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB//CD,CD = AB = 2,所以∠FAE = ∠D,∠F = ∠ECD,所以△AEF∽△DEC,所以$\frac{AF}{DC} = \frac{AE}{DE}$，因为DE = 2AE,所以$\frac{AF}{2} = \frac{AE}{2AE} = \frac{1}{2}$，解得AF = 1.
解法二:因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC,AD = BC.因为DE = 2AE,所以AD = AE + DE = 3AE,所以$\frac{AE}{BC} = \frac{AE}{AD} = \frac{1}{3}$.因为AE//BC,所以△FAE∽△FBC,所以$\frac{AF}{BF} = \frac{AE}{BC} = \frac{1}{3}$.因为AB = 2,所以$\frac{AF}{2 + AF} = \frac{1}{3}$，解得AF = 1.
Plus归纳总结：此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识。在复杂图形中寻找相似模型是解题关键，本题既可从“X”型相似，也可从“A”型相似入手。

17 如图,$ AB $是$\odot O$的直径,$ CD $是$\odot O$的弦.若$ \angle DCB = 45° $,$ AD = 1 $,则$ AB = $$\sqrt{2}$$ $.

答案： 17$\sqrt{2}$　解析:因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB = 90°.因为$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BD}$，∠DCB = 45°,所以∠DAB = ∠DCB = 45°,所以∠ABD = 90° - ∠DAB = 45°,所以BD = AD = 1,所以在Rt△ABD中,由勾股定理,得$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2}$.

18 如图,在$\triangle ABC$中,$ \tan C = \frac{4}{3} $,$ D $是边$ BC $上一点,将$\triangle ACD$沿$ AD $翻折得到$\triangle AED$,使线段$ AE,BC $相交于点$ F $.若$ CF = 5 $,$ EF = 2 $,则$ AC = $$\frac{21}{2}$$ $.

答案：
18$\frac{21}{2}$　解析:如图，过点F作FG⊥AC,垂足为G.因为在△CFG中,$\tan C = \frac{4}{3}$，所以$\tan C = \frac{FG}{CG} = \frac{4}{3}$.设FG = 4x,则CG = 3x.在Rt△CFG中,CF = 5,由勾股定理,得$CF^2 = CG^2 + FG^2$，即$5^2 = (3x)^2 + (4x)^2$，解得x = 1(负值舍去),所以FG = 4,CG = 3.由翻折的性质,得AC = AE.设AC = AE = y,则AG = AC - CG = y - 3,AF = AE - EF = y - 2,在Rt△AFG中,由勾股定理,得$AF^2 = AG^2 + FG^2$，即$(y - 2)^2 = (y - 3)^2 + 4^2$，解得$y = \frac{21}{2}$，即$AC = \frac{21}{2}$.