《2026年江苏13大市中考名卷优选38套数学》

19 (6分) 如图, $E$是正方形$ABCD$的边$BC$上的一点, 连接$AE$, 将$\triangle AER$绕点$A$逆时针旋转, 使得点$E$的对应点$F$落在边$CD$的延长线上.
(1) 求证: $\triangle ABE \cong \triangle ADF$;
(2) 连接$BD$, $EF$交于点$M$, 若$\angle BAE=20^{\circ}$, 则$\angle BMF$的度数为 160° .

答案：
19
(1) 证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°.
(1分)
由旋转的性质，得AF=AE.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，$\begin{cases} AB = AD, \\ AE = AF, \end{cases}$
(3分)
所以Rt△ABE≌Rt△ADF(HL).
(4分)
(2) 160°
(6分)
解析：如图，设BD与AE的交点为N.由旋转的性质，得AF=AE，∠EAF=90°，所以△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=45°.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABD=45°，所以∠AEF=∠ABD=45°.因为∠ANB=∠ENM，∠BAE=20°，所以∠BME=∠BAE=20°，所以∠BMF=180°-∠BME=160°.

20 (6分) 学校七年级、八年级两个年级各有一个科技社团, 为了解各社团学生掌握科普知识的情况, 学校组织了知识竞赛, 现从这两个社团各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制, 单位: 分), 其中, 七年级科技社团: 69, 72, 72, 73, 74, 74, 74, 74, 76, 76, 78, 89, 96, 97, 97, 98, 98, 99, 99, 99; 八年级科技社团: 65, 68, 70, 76, 77, 78, 87, 88, 88, 88, 89, 89, 89, 93, 95, 97, 97, 98, 99, 并作如下统计:

(1) $a=$ 89 ;
(2) 根据以上数据, 你认为哪个年级科技社团的学生科普知识掌握更好一些, 请说明理由(写出一条理由即可);
(3) 该校七年级科技社团有160名学生, 八年级科技社团有180名学生参加了此竞赛活动, 请估计这两个社团成绩达到90分及以上的学生共有多少名?

答案： 20 解：
(1) 89
(2分)
(2) 八年级科技社团的学生科普知识掌握更好一些.
(3分)
理由如下：八年级科技社团学生成绩的平均数、中位数、众数均高于七年级科技社团，且方差比七年级科技社团的小，成绩更稳定，所以八年级科技社团的学生科普知识掌握更好一些.(答案不唯一)
(4分)
(3) $160 × \frac{8}{20}+180 × \frac{6}{20}=118$(名).
答：估计这两个社团成绩达到90分及以上的学生共有118名.
(6分)

21 (6分) 一只不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球, 这些球除颜色外均相同.
(1) 从袋子中随机摸出2个球, 请利用列表或画树状图的方法, 求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率;
(2) 在这只袋中再装入$n$个红球(这些球与袋中原来的红球大小完全相同), 摇匀后, 从袋中随机摸出2个球, 若摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是$\frac{3}{5}$, 则$n=$ 2 .

答案：
21 解：
(1) 画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果有4种，
所以摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
(4分)
(2) 2
(6分)
解析：当添加n个红球后，则共有(n+3)个球，所以一共有(n+3)(n+2)种等可能的结果，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果种数为2(n+1)+2(n+1)，所以$\frac{2(n+1)+2(n+1)}{(n+3)(n+2)}=\frac{3}{5}$，整理，得$3n^{2}-5n - 2 = 0$，解得$n_1 = 2$，$n_2=-\frac{1}{3}$(舍去).