《2026年江苏13大市中考名卷优选38套数学》

26 (10分)材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶,青玉盘中泻水银”,莲叶上的水滴来回滚动,不易渗入莲叶内部,这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.


【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分,经过球心的纵截面如图所示,接触角是过固、液、气三相接触点(点M或点N)所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角,图1中的$\angle PMN$就是水滴的一个接触角.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角,并用三个大写字母表示接触角(保留作图痕迹,写出必要的文字说明);

(2)材料的疏水性随着接触角的变大而变强;(填“变强”“不变”或“变弱”)
【实践探索】
实践中,可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC($BC\bot AC$),求出$\angle BAC$的度数,进而求出接触角$\angle CAD$的度数(如图3).
(3)请探索图3中接触角$\angle CAD$与$\angle BAC$之间的数量关系(用等式表示),并说明理由;

【创新思考】
(4)材料的疏水性除了用接触角以及图3中与$\triangle ABC$相关的量描述外,还可以用什么量来描述,请你提出一个合理的设想,并说明疏水性随着此量的变化而如何变化.

答案：
26解：
(1)如图，①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求。

(2)变强 解析：由题意和图可知接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，故材料的疏水性随着接触角的变大而变强。
(3)∠CAD = 2∠BAC.理由如下：
连接OA，则OA = OB，所以∠ABC = ∠OAB。
因为AD为切线，OA为⊙O半径，
所以OA⊥AD，所以∠OAB + ∠BAD = 90°。
因为BC⊥AC，所以∠ABC + ∠BAC = 90°。
因为∠ABC = ∠OAB，所以∠BAD = ∠BAC，
所以∠CAD = ∠BAD + ∠BAC = 2∠BAC。
(4)因为水滴弧的长度为l = $\frac{nπr}{180}$(r是球的半径)，所以$\frac{l}{r}$ = $\frac{π}{180}$n，所以可以根据$\frac{l}{r}$的大小，进行判断，$\frac{l}{r}$越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强。(答案不唯一)
Plus 方法总结
本题以实际问题为背景考查直线和圆的位置关系，利用尺规作图找圆心和已知线段的垂线，要熟练掌握垂直平分线的作图方法.圆中的半径三角形为等腰三角形，垂径定理、切线性质的灵活运用是解题关键.