《2026年江苏13大市中考名卷优选38套数学》

22 (6分)新一轮科技革命和产业变革深入发展,科技创新是建成科技强国的重要保障.学校兴趣小组成员收集了我国2018~2024年发明专利申请授权数,整理数据如下表(单位:万个,精确到0.1):

(1) 计算2020~2021年我国发明专利申请授权数的增长率(精确到1%);
(2) 小组成员建立平面直角坐标系,并根据表中数据画出相对应的点(如图),从图中可以看出,这些点大致分布在一条直线附近,他们选择了两个点A(2 019,45.3),B(2 024,104.5)作一条直线来近似地表示$y$的值随年份$x$不断增长的变化趋势.设直线AB上点的坐标满足函数表达式$y = kx + b$.试求出$k$的值,并写出$k$的实际意义,再预测我国2025年发明专利申请授权数.

答案： 22解：
(1)由题意，得$\frac{69.6-53}{53}\approx31\%$，所以$2020\sim2021$年我国发明专利申请授权数的增长率约为$31\%$。
(2)将点$A(2019,45.3)$，$B(2024,104.5)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}2019k+b=45.3\\2024k+b=104.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=11.84\\b=-23859.66\end{cases}$，所以直线$AB$的函数表达式$y=11.84x-23859.66$。故$k=11.84$，$k$的实际意义为我国发明专利申请授权数的年平均增长数约为$11.84$万个。当$x=2025$时，$y=11.84×2025-23859.66=116.34$。答：我国2025年发明专利申请授权数约为$116.34$万个。

23 (6分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在反比例函数$y = - \frac {2}{x}$和$y = \frac {k}{x}(k＞0)$的图像上,点A
的横坐标为$-1$,点B的横坐标为$n(n＞3)$,点C的坐标为$(3,0)$,AC⊥BC,AC = 2BC.
(1) 求点A,B的坐标和反比例函数$y = \frac {k}{x}(k＞0)$的表达式;
(2) 若点D,E分别在反比例函数$y = \frac {k}{x}(k＞0)$和$y = - \frac {2}{x}$的图像上,且与点A,B构成以AB为边的
平行四边形,则点D,E的坐标分别为$(-4,-2)$,$(1,-2)$.

答案：
23解：
(1)作$AH\perp x$轴，$BG\perp x$轴，垂足分别为$H$，$G$。在$y=-\frac{2}{x}$中，令$x=-1$，得$y=2$，所以点$A$的坐标为$(-1,2)$。因为$AC\perp BC$，所以$\angle ACB=90^{\circ}$，所以$\angle ACH+\angle BCG=90^{\circ}$。因为$AH\perp GH$，$BG\perp GH$，所以$\angle AHC=\angle CGB=90^{\circ}$，所以$\angle CAH+\angle ACH=90^{\circ}$，所以$\angle CAH=\angle BCG$，所以$\triangle CAH\sim\triangle BCG$，所以$\frac{AC}{BC}=\frac{AH}{CG}=\frac{HC}{GB}$。因为$AC=2BC$，点$C$的坐标为$(3,0)$，所以$\frac{2BC}{BC}=\frac{2}{CG}=\frac{4}{GB}$，所以$CG=1$，$GB=2$，所以点$B$的坐标为$(4,2)$。因为点$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图像上，所以$k=4×2=8$。故点$A$的坐标为$(-1,2)$，点$B$的坐标为$(4,2)$，反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
(2)$(-4,-2)$ $(1,-2)$ 解析：因为点$A$的坐标为$(-1,2)$，点$B$的坐标为$(4,2)$，所以$AB=5$，且$AB// x$轴。因为点$D$，$E$，$A$，$B$构成的平行四边形以$AB$为边，所以$DE=AB=5$，且$DE// AB$。设$y_D=y_E=t$，所以$x_D=\frac{8}{t}$，$x_E=-\frac{2}{t}$，所以$DE=\left|\frac{8}{t}-(-\frac{2}{t})\right|=\left|\frac{10}{t}\right|=5$，解得$t=2$(舍去)或$t=-2$，所以$x_D=-4$，$x_E=1$，所以点$D$的坐标为$(-4,-2)$，点$E$的坐标为$(1,-2)$。

plus疑难突破
本题考查了反比例函数，“K”型相似，及平行四边形性质。当两线段垂直且成比例时，可考虑构造“K”型相似求线段长。本题第二问通过平行四边形对边平行且相等的性质，得$DE// AB$且$DE=AB$，在平面直角坐标系中的位置关系和数量关系可借助数形结合解决问题。