《2026年江苏13大市中考名卷优选38套数学》

24 (8 分) 综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究. 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, C A=C B$, 在 $\triangle C D E$ 中, $\angle D C E=90^{\circ}, \angle E=30^{\circ}, A B=C E=12 \mathrm{~cm}$.
【观察感知】
(1) 如图 1, 将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合, $A B 、 D E$ 交于点 $F$, 求 $\angle A F D$ 的度数和线段 $A D$ 的长 (结果保留根号);
【探索发现】
(2) 在图 1 的基础上, 保持 $\triangle C D E$ 不动, 把 $\triangle A B C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转一定的角度, 使得点 $A$ 落在边 $D E$ 上 (如图 2).
①求线段 $A D$ 的长 (结果保留根号);
②判断 $A B$ 与 $D E$ 的位置关系, 并说明理由.

答案： 24　解:
(1)在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CA = CB$，
所以$\angle BAC = \angle ABC = 45^{\circ}$。
在$\triangle CDE$中，$\angle DCE = 90^{\circ}$，$\angle E = 30^{\circ}$，
所以$\angle CDE = 60^{\circ}$，
所以$\angle AFD = \angle CDE - \angle A = 60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 12cm$，所以$AC = AB·\sin\angle ABC = 12×\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}(cm)$，
在$Rt\triangle CDE$中，$CE = 12cm$，所以$CD = CE·\tan E = 12×\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}(cm)$，
所以$AD = AC - CD=(6\sqrt{2}-4\sqrt{3})cm$。
(2)①解法一:过点$C$作$CG\perp DE$，垂足为$G$。
在$Rt\triangle CDG$中，$\angle CGD = 90^{\circ}$，$\angle CDG = 60^{\circ}$，$CD = 4\sqrt{3}cm$，所以$DG = CD·\cos\angle CDG = 2\sqrt{3}cm$，$CG = CD·\sin\angle CDG = 6cm$。
在$Rt\triangle CGA$中，$\angle CGA = 90^{\circ}$，$CA = 6\sqrt{2}cm$，$CG = 6cm$，所以$AG = \sqrt{AC^{2}-CG^{2}} = 6cm$，
所以$AD = AG + DG=(6 + 2\sqrt{3})cm$。
解法二:过点$A$作$AH\perp CD$，垂足为$H$。
设$DH = xcm$，则$CH=(4\sqrt{3}-x)cm$，
在$\triangle ADH$中，$\angle AHD = 90^{\circ}$，$\angle D = 60^{\circ}$，所以$AH = DH·\tan60^{\circ}=\sqrt{3}xcm$，$AD=\frac{DH}{\cos60^{\circ}}=2xcm$。
在$Rt\triangle ACH$中，$CH^{2}+AH^{2}=AC^{2}$，
即$(4\sqrt{3}-x)^{2}+(\sqrt{3}x)^{2}=(6\sqrt{2})^{2}$，
解得$x=\sqrt{3}+3$或$x=\sqrt{3}-3$(舍去)，
所以$AD=(6 + 2\sqrt{3})cm$。
②$AB\perp DE$。理由如下:
过点$C$作$CG\perp DE$，垂足为$G$。
在$Rt\triangle CGA$中，$\angle CGA = 90^{\circ}$，$AG = CG = 6cm$，
所以$\angle CAG = \angle ACG = 45^{\circ}$，
所以$\angle DAB = \angle CAG+\angle BAC = 45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$，
所以$AB\perp DE$。

25 (10 分) 如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $B D=C D, \angle C=\angle B A D$. 以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 经过点 $D$, 且与边 $C D$交于点 $E$, 连接 $A E, B E$.
(1) 求证: $B C$ 为 $\odot O$ 的切线;
(2) 若 $A B=\sqrt{10}, \sin \angle A E D=\frac{\sqrt{10}}{10}$, 求 $B E$ 的长.

答案：
25　
(1)证明:因为$AB$是$\odot O$的直径，
所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle DBA = 90^{\circ}$。
因为$BD = CD$，所以$\angle C = \angle DBC$；
因为$\angle C = \angle BAD$，所以$\angle DBC = \angle BAD$，
所以$\angle OBC = \angle ABD+\angle DBC = \angle ABD+\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$BC\perp OB$。
因为$OB$是$\odot O$的半径，所以$BC$为$\odot O$的切线。
(2)解:过点$D$作$DF\perp BC$于点$F$，
因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}$，所以$\angle ABD = \angle AED$，
所以$\sin\angle ABD = \sin\angle AED=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB = \sqrt{10}$，$\sin\angle ABD=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以$AD = 1$，所以$BD = 3$。
因为$DF\perp BC$，$AB\perp BC$，所以$DF// AB$，
所以$\angle BDF = \angle ABD$，
所以$\sin\angle BDF = \sin\angle ABD=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
在$Rt\triangle BDF$中，$BD = 3$，$\sin\angle BDF=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以$BF = \frac{3\sqrt{10}}{10}$。
因为$BD = CD$，$DF\perp BC$，所以$BC = 2BF=\frac{3\sqrt{10}}{5}$。因为四边形$ABED$内接于$\odot O$，
所以$\angle BAD+\angle BED = 180^{\circ}=\angle BED+\angle BEC$。
因为$\angle C = \angle BAD$，所以$\angle BEC = \angle C$，
所以$BE = BC=\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
所以$BE$的长是$\frac{3\sqrt{10}}{5}$。