《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

1. 如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知$\angle B = \angle E$，$AB = DE$，$BF = EC$，其中$\triangle ABC$的周长为$24 cm$，$CF = 3 cm$，求制成整个金属框架所需这种材料的总长度.

答案：
∵BF=EC，CF=3cm，
∴BF+FC=EC+CF，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=DE\\ ∠B=∠E\\ BC=EF\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（SAS）。
∴AC=DF，△DEF的周长=△ABC的周长=24cm。
∵△ABC的周长=AB+BC+AC=24cm，BC=BF+FC，
∴AB+BF+FC+AC=24cm，即AB+BF+AC=24 - CF=24 - 3=21cm。
整个金属框架总长度=AB+BF+FC+CE+ED+DF+AC。
∵CE=BF，ED=AB，DF=AC，
∴总长度=AB+BF+3+BF+AB+AC+AC=2AB+2BF+2AC+3=2(AB+BF+AC)+3=2×21+3=45cm。
答：制成整个金属框架所需这种材料的总长度为45cm。

2. 如图，$\triangle ACB$和$\triangle DCE$均为等腰三角形，点$A$，$D$，$E$在同一条直线上，$BC$和$AE$相交于点$O$，连接$BE$，若$\angle CAB = \angle CBA = \angle CDE = \angle CED = 50^{\circ}$.
(1) 求证：$AD = BE$；
(2) 求$\angle AEB$的度数.

答案：
(1) 见解析；
(2) 80°

3. 如图，在$\triangle ABC$中，已知$AD$为$\angle BAC$的平分线，如图，若$\angle C = 2\angle B$，$AB = 12$，$AC = 7.2$，求线段$CD$的长度.

答案： 在$AB$上截取$AE=AC$，连接$DE$。
因为$AD$为$\angle BAC$的平分线，
所以$\angle BAD = \angle CAD$。
在$\triangle ACD$和$\triangle AED$中，
$\begin{cases}AC = AE,\\\angle CAD=\angle EAD,\\AD = AD.\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）判定定理，
可得$\triangle ACD\cong\triangle AED$。
所以$CD = DE$，$\angle AED=\angle C$。
已知$\angle C = 2\angle B$，
所以$\angle AED = 2\angle B$。
因为$\angle AED=\angle B+\angle BDE$，
所以$\angle BDE=\angle B$。
所以$BE = DE$。
因为$AB=AE + BE$，$AE = AC = 7.2$，$AB = 12$，
所以$BE=AB - AE=12 - 7.2 = 4.8$。
又因为$BE = DE$，$CD = DE$，
所以$CD = 4.8$。
综上，线段$CD$的长度为$4.8$。