《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

1. $a$ 的两个平方根是方程 $3x + 2y = 5$ 的一组解，则 $a =$25.

答案： $25$

2. 请你观察与思考：
$\because 11^2 = 121$，$\therefore \pm\sqrt{121} = \pm11$.
$\because 111^2 = 12321$，$\therefore \pm\sqrt{12321} = \pm111$.
$\ldots$
由此猜想：$\pm\sqrt{12345678987654321} = \pm$111111111.

答案： $\pm111111111$（填写$\pm$后面的数值即可，即$\pm$后的数为111111111）。

3. 若 $a^2 + b^2 + 6a - 8b = -25$，则 $a + b$ 的平方根是$\pm1$.

答案： $\pm1$（或 $\pm 1$对应的选项）

4. 若 $y = \sqrt{x - 2} + 3\sqrt{2 - x} + 8$，求 $xy$ 的平方根.

答案： 要使二次根式有意义，则被开方数必须为非负数。
对于$\sqrt{x - 2}$，有$x - 2 \geq 0$，即$x \geq 2$；
对于$\sqrt{2 - x}$，有$2 - x \geq 0$，即$x \leq 2$。
所以$x$只能取$2$。
将$x = 2$代入$y = \sqrt{x - 2} + 3\sqrt{2 - x} + 8$，得：
$y = \sqrt{2 - 2} + 3\sqrt{2 - 2} + 8 = 0 + 0 + 8 = 8$。
则$xy = 2×8 = 16$。
因为$16$的平方根是$\pm 4$，所以$xy$的平方根是$\pm 4$。
$\pm 4$

5. 小明是一位善于思考、勇于创新的同学.在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根.比如：因为没有一个数的平方等于－1，所以－1没有平方根.有一天，小明想：如果存在一个数$i$，使$i^{2} = - 1$，那么$( - i)^{2} = - 1$，因此－1就有两个平方根了.进一步，小明想：因为$( \pm 2i)^{2} = - 4$，所以－4的平方根就是$\pm 2i$；因为$( \pm 3i)^{2} = - 9$，所以－9的平方根就是$\pm 3i$.请你根据上面的信息回答下面问题：
(1) 求$- 16$，$- 25$的平方根；
(2) 求$i^{3},i^{4},i^{5},i^{6},i^{7},i^{8},·s$的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用式子表示出来.

答案：
(1)
因为$(\pm 4i)^{2}=-16$，所以$-16$的平方根是$\pm 4i$；
因为$(\pm 5i)^{2}=-25$，所以$-25$的平方根是$\pm 5i$。
(2)
$i^{3}=i^{2}· i=-i$；
$i^{4}=i^{2}· i^{2}=(-1)×(-1)=1$；
$i^{5}=i^{4}· i = 1× i=i$；
$i^{6}=i^{4}· i^{2}=1×(-1)= - 1$；
$i^{7}=i^{4}· i^{3}=1×(-i)=-i$；
$i^{8}=i^{4}· i^{4}=1×1 = 1$。
规律：$i^{4n}=1$，$i^{4n + 1}=i$，$i^{4n+2}=-1$，$i^{4n + 3}=-i$（$n$为整数）。