《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

1. 已知$a,b$均为有理数，且$a + b\sqrt{6} = (\sqrt{2 - \sqrt{3}})^2$，则$a^b$的值为 （C）

A.$25$
B.$-10$
C.$\frac{1}{25}$
D.$-\frac{1}{10}$

答案： C

2. 对于实数$p$，我们规定：用$\{\sqrt{p}\}$表示不小于$\sqrt{p}$的最小整数。例如：$\{\sqrt{4}\}=2$，$\{\sqrt{3}\}=2$，现在对$72$进行如下操作：$72\overset{第一次}{\rightarrow}\{\sqrt{72}\}=9\overset{第二次}{\rightarrow}\{\sqrt{9}\}=3\overset{第三次}{\rightarrow}\{\sqrt{3}\}=2$，即对$72$只需进行$3$次操作后变为$2$.类比上述操作：对$512$只需进行(B)次操作后变为$2$. （）

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： B

3. 先阅读第(1)题的解法，再解答第(2)题：
(1)已知$a,b$是有理数，并且满足等式$5 - \sqrt{3}a = 2b + \frac{2}{3}\sqrt{3}-a$，求$a,b$的值.
解：因为$5 - \sqrt{3}a = 2b + \frac{2}{3}\sqrt{3}-a$，
所以$5 - \sqrt{3}a = (2b - a) + \frac{2}{3}\sqrt{3}$.
所以$\begin{cases}2b - a = 5,\\-a = \frac{2}{3}.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{2}{3},\\b = \frac{13}{6}.\end{cases}$
(2)已知$x,y$是有理数，并且满足等式$x^2 - 2y - \sqrt{2}y = 17 - 4\sqrt{2}$，求$x + y$的值.

答案： 因为$x^{2} - 2y - \sqrt{2}y = 17 - 4\sqrt{2}$，
所以$x^{2} - 2y - \sqrt{2}y=(17)-4\sqrt{2}$（将有理数部分和无理数部分分别整理）。
所以$\begin{cases}x^{2} - 2y = 17, \\-y = -4.\end{cases}$
由$-y = -4$，得$y = 4$。
把$y = 4$代入$x^{2} - 2y = 17$，
得$x^{2}-2×4 = 17$，
即$x^{2}=17 + 8=25$，
解得$x=\pm5$。
当$x = 5$，$y = 4$时，$x + y=5 + 4 = 9$；
当$x=-5$，$y = 4$时，$x + y=-5 + 4=-1$。
综上，$x + y$的值为$9$或$-1$。

4. 仔细阅读材料，回答问题.
观察：因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$.
所以$\sqrt{6}$的整数部分为$2$，小数部分为$\sqrt{6}-2$.
请你观察上述式子规律后解决下面问题.
(1)$\sqrt{23}$的整数部分为4，小数部分为$\sqrt{23}-4$；
(2)已知$a$是$6 + \sqrt{11}$的小数部分，$b$是$6 - \sqrt{11}$的小数部分，求$5a + 5b - 1$的平方根.

答案：
(1)
因为$\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4 ＜ \sqrt{23} ＜ 5$。
所以$\sqrt{23}$的整数部分为$4$，小数部分为$\sqrt{23}-4$。
(2)
因为$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$。
所以$9＜6 + \sqrt{11}＜10$，$2＜6 - \sqrt{11}＜3$。
$a=(6 + \sqrt{11})-9=\sqrt{11}-3$，$b=(6 - \sqrt{11})-2 = 4-\sqrt{11}$。
$5a + 5b-1=5(a + b)-1=5(\sqrt{11}-3 + 4-\sqrt{11})-1=5×1 - 1=4$。
因为$\pm\sqrt{4}=\pm2$，
所以$5a + 5b - 1$的平方根为$\pm2$。