《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$P$为平面内的一点，连接$AP$，$PB$，$PC$，若$\angle ACB = 30^{\circ}$，$AC = 8$，$BC = 10$，则$4PA + 2PB + 2\sqrt{3}PC$的最小值是 (B)

A.$4\sqrt{89}$
B.$36$
C.$4\sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 6\sqrt{7}$
D.$16\sqrt{10} - 10$

答案： B

2. 如图，在$\triangle DEF$中，$\angle D = 90^{\circ}$，$DG:GE = 1:3$，$GE = GF$，$Q$是$EF$上一动点，过点$Q$作$QM \perp DE$于点$M$，$QN \perp GF$于点$N$，$EF = 4\sqrt{3}$，则$QM + QN$的长是 (C)

A.$4\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$4$
D.$2\sqrt{3}$

答案： C

3. 如图，以$AB$为斜边的$Rt\triangle ABC$的每条边为边作三个正方形，分别是正方形$ABMN$，正方形$BCPQ$，正方形$ACEF$，且边$EF$恰好经过点$N$。若$S_{3} = S_{4} = 6$，则$S_{1} + S_{5} =$12。
(注：图中所示面积$S$表示相应封闭区域的面积，如$S_{3}$表示$\triangle ABC$的面积)

答案： 12

4. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = BC = 6$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，对角线$AC$与$BD$相交于点$E$，若$BE = 3DE$，则$BD =$3√6。

答案： 3√6

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 8\ cm$，$BC = 6\ cm$，$P$，$Q$是$\triangle ABC$边上的两个动点，其中点$P$从点$A$开始沿$A \to B$方向运动，且速度为$1\ cm/s$，点$Q$从点$B$开始沿$B \to C$方向运动，且速度为$2\ cm/s$，它们同时出发，设出发的时间为$t\ s$。
(1) 当$t = 2$时，求$PQ$的长；
(2) 求出发时间为几秒时，$\triangle PQB$是等腰三角形？
(3) 若点$Q$沿$B \to C \to A$方向运动，则当点$Q$在边$CA$上运动时，求能使$\triangle BCQ$成为等腰三角形的运动时间。

答案：
(1) 当$ t=2 $时，$ AP=1×2=2\ cm $，则$ PB=AB-AP=8-2=6\ cm $；$ BQ=2×2=4\ cm $。
在$ Rt\triangle PQB $中，$ PQ=\sqrt{PB^2+BQ^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\ cm $。
(2) 由题意，$ AP=t\ cm $，$ PB=8-t\ cm $；$ BQ=2t\ cm $（$ t\leq3 $，因为$ Q $在$ BC $上运动时间为$ 6÷2=3\ s $）。
$ \triangle PQB $为等腰三角形且$ \angle B=90° $，则$ PB=BQ $，即$ 8-t=2t $，解得$ t=\frac{8}{3} $。
(3) $ Q $在$ CA $上时，$ t\geq3\ s $（$ Q $从$ B $到$ C $需$ 3\ s $），$ CA=10\ cm $，$ CQ=2t-6\ cm $（$ 3\leq t\leq8 $）。
$ \triangle BCQ $为等腰三角形分三种情况：
① $ BC=CQ $：$ 6=2t-6 $，解得$ t=6 $；
② $ BC=BQ $：解得$ t=\frac{33}{5} $；
③ $ CQ=BQ $：解得$ t=\frac{11}{2} $。
综上，$ t=\frac{11}{2}\ s $或$ 6\ s $或$ \frac{33}{5}\ s $。
答案
(1) $ 2\sqrt{13}\ cm $
(2) $ \frac{8}{3}\ s $
(3) $ \frac{11}{2}\ s $，$ 6\ s $，$ \frac{33}{5}\ s $