《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

1. 已知$a$，$b$，$c$是直角三角形的三边，且$c$为斜边，$h$为斜边上的高，下列说法：①$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$，$\sqrt{c}$能组成三角形；②$a^{2}$，$b^{2}$，$c^{2}$能组成三角形；③$c + h$，$a + b$，$h$能组成直角三角形；④$\frac{1}{a^{2}}$，$\frac{1}{b^{2}}$，$\frac{1}{h^{2}}$能组成直角三角形，其中错误结论的个数是
（A）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： A

2. 如果正整数$a$，$b$，$c$满足等式$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，那么正整数$a$，$b$，$c$叫
作勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知$x + y$的值为
（C）

A.47
B.62
C.79
D.98
 

答案： C

3. 下表中给出的每行三个数$a$，$b$，$c(a ＜ b ＜ c)$满足$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，根据表中已有的数的规律填空：
(1)当$a = 20$时，$b =$99，$c =$101；
(2)用含字母$a$的代数式分别表示$b$，$c$，$b =$$\frac{a^2 - 4}{4}$，$c =$$\frac{a^2 + 4}{4}$.

答案： 99；101；$\frac{a^2 - 4}{4}$；$\frac{a^2 + 4}{4}$

4. 若$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，且满足$a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2} = a^{4} - b^{4}$，试判定这个三角形的形状.

答案： 1. 对等式变形：
$a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2} = a^{4} - b^{4}$，
左边提取公因式$c^{2}$：$c^{2}(a^{2} - b^{2}) = a^{4} - b^{4}$，
右边因式分解（平方差）：$a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2})(a^{2} + b^{2})$，
移项得：$c^{2}(a^{2} - b^{2}) - (a^{2} - b^{2})(a^{2} + b^{2}) = 0$，
提取公因式$(a^{2} - b^{2})$：$(a^{2} - b^{2})[c^{2} - (a^{2} + b^{2})] = 0$。
2. 分析因式乘积为0的情况：
$\because (a^{2} - b^{2})[c^{2} - (a^{2} + b^{2})] = 0$，
$\therefore a^{2} - b^{2} = 0$或$c^{2} - (a^{2} + b^{2}) = 0$。
3. 讨论两种情况：
若$a^{2} - b^{2} = 0$，则$a^{2} = b^{2}$，$\because a,b＞0$，$\therefore a = b$，此时$\triangle ABC$是等腰三角形；
若$c^{2} - (a^{2} + b^{2}) = 0$，则$c^{2} = a^{2} + b^{2}$，由勾股定理逆定理，此时$\triangle ABC$是直角三角形。
4. 结论：$\triangle ABC$是等腰三角形或直角三角形。