《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

1. 如图，我们都知道长方形的对边相等并且每个角都是直角，小微做折纸游戏，她将长方形纸片 $ABCD$ 折叠，使点 $B$ 落在 $CD$ 边上，压平后得到折痕 $MN$，下列结论正确的有 (A)

① 连接 $AF$，则线段 $AF$ 被 $MN$ 所在直线垂直平分；② $E$ 点一定是 $CD$ 中点；③ $EF = CD$；④ $\angle DEF+\angle CEN = 90^{\circ}$；⑤ $\angle DEF=\angle ENC$.

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

答案： A

2. 如图，$OC$ 平分 $\angle AOB$，$P$ 为 $OC$ 上的一点，$\angle MPN$ 的两边分别与 $OA$，$OB$ 相交于点 $M$，$N$.
(1) 如图 1，若 $\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle MPN = 90^{\circ}$，过点 $P$ 作 $PE\perp OA$ 于点 $E$，作 $PF\perp OB$ 于点 $F$，请判断 $PM$ 与 $PN$ 的数量关系，并说明理由；
(2) 如图 2，若 $\angle AOB = 120^{\circ}$，$\angle MPN = 60^{\circ}$，求证：$OP = OM + ON$.

答案：
(1) PM=PN.
理由：
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF（角平分线性质）.
∵∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴四边形OEPF为矩形，又PE=PF，
∴矩形OEPF为正方形，
∴∠EPF=90°.
∵∠MPN=90°，
∴∠MPE=∠NPF（同角的余角相等）.
在△PEM和△PFN中，
∠PEM=∠PFN=90°，
PE=PF，
∠MPE=∠NPF，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PM=PN.
(2) 证明：
过点P作PG//OB交OA于G.
∵OC平分∠AOB，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°.
∵PG//OB，
∴∠GPO=∠BOC=60°（内错角相等），又∠AOC=60°，
∴△PGO为等边三角形，
∴OP=PG=OG，∠PGM=60°.
∵∠MPN=60°，∠GPO=60°，
∴∠GPM=∠OPN（等式性质：∠GPM+∠MPO=∠OPN+∠MPO=60°）.
在△PGM和△PON中，
∠PGM=∠PON=60°，
PG=PO，
∠GPM=∠OPN，
∴△PGM≌△PON（ASA），
∴GM=ON.
∵OG=OM+GM，OG=OP，GM=ON，
∴OP=OM+ON.

3. 如图，$AE\perp AB$，$AF\perp AC$，$AE = AB$，$AF = AC$，

(1) 图中 $EC$，$BF$ 有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论；
(2) 连接 $AM$，求证：$MA$ 平分 $\angle EMF$.

答案：
(1) $EC=BF$且$EC\perp BF$。
证明：
$\because AE\perp AB$，$AF\perp AC$，$\therefore \angle EAB=\angle FAC=90°$。
$\therefore \angle EAC=\angle EAB+\angle BAC=90°+\angle BAC$，
$\angle BAF=\angle FAC+\angle BAC=90°+\angle BAC$，$\therefore \angle EAC=\angle BAF$。
在$\triangle EAC$和$\triangle BAF$中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AB \\ \angle EAC=\angle BAF \\ AC=AF \end{array}\right.$，
$\therefore \triangle EAC\cong\triangle BAF(SAS)$，$\therefore EC=BF$，$\angle AEC=\angle ABF$。
设$EC$与$AB$交于点$G$，$EC$与$BF$交于点$M$。
$\because \angle AGE=\angle BGM$（对顶角相等），$\angle AEC=\angle ABF$，
$\therefore \angle EAG=\angle BMG$（三角形内角和定理）。
$\because \angle EAG=90°$，$\therefore \angle BMG=90°$，即$EC\perp BF$。
(2) 证明：
过点$A$作$AP\perp EC$于$P$，$AQ\perp BF$于$Q$。
$\because \triangle EAC\cong\triangle BAF$，$\therefore S_{\triangle EAC}=S_{\triangle BAF}$，且$EC=BF$。
$\because S_{\triangle EAC}=\frac{1}{2}EC· AP$，$S_{\triangle BAF}=\frac{1}{2}BF· AQ$，
$\therefore \frac{1}{2}EC· AP=\frac{1}{2}BF· AQ$，又$EC=BF$，$\therefore AP=AQ$。
$\because AP\perp EC$，$AQ\perp BF$，$\therefore$点$A$在$\angle EMF$的平分线上，即$MA$平分$\angle EMF$。