《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

1. 如图，已知△ABE 与△CDE 都是等腰直角三角形，∠AEB = ∠DEC = 90°，连接 AD，AC，BC，BD，若 AD = AC = AB，则下列结论：① AE 垂直平分 CD；② AC 平分∠BAD；③ △ABD 是等边三角形；④ ∠BCD 的度数为 150°，其中正确的个数是 （A）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： A

2. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 AB 上的点，过点 D 作 DE⊥AB 交 BC 于点 F，交 AC 的延长线于点 E，连接 CD，∠DCA = ∠DAC，则下列结论正确的有①②④.（填序号）
① ∠DCB = ∠B；② $CD = \frac{1}{2}AB$；③ △ADC 是等边三角形；④ 若∠E = 30°，则 DE = EF + CF.

答案： ①②④

3.【问题初探】如图 1，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC，点 D 是 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边作△ADE，使∠DAE = 90°，AD = AE，连接 BE，猜想 BE 和 CD 有怎样的数量关系，并说明理由.
【类比再探】如图 2，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC，点 M 是 AB 上一点，点 D 是 BC 上一点，连接 MD，以 MD 为一边作△MDE，使∠DME = 90°，MD = ME，连接 BE，则∠EBD =45°.（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线）
【方法迁移】如图 3，△ABC 是等边三角形，点 D 是 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边作等边三角形 ADE，连接 BE，则 BD，BE，BC 之间有怎样的数量关系？BC=BD+BE（直接写出答案，不写过程）.
【拓展创新】如图 4，△ABC 是等边三角形，点 M 是 AB 上一点，点 D 是 BC 上一点，连接 MD，以 MD 为一边作等边三角形 MDE，连接 BE. 猜想∠EBD 的度数，并说明理由.

答案： 【问题初探】
BE=CD
理由：
∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠BAD=∠DAE-∠BAD，即∠BAE=∠CAD。
在△ABE和△ACD中，
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAE=∠CAD \\ AE=AD \end{cases}$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD。
【类比再探】
45°
（辅助线：过点E作EF⊥AB于点F）
【方法迁移】
BC=BD+BE
【拓展创新】
∠EBD=60°
理由：
在等边△ABC中，∠ABC=60°。在AB上截取BN=BM，连接MN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴MN=BM，∠BMN=60°。
∵△MDE是等边三角形，
∴MD=ME，∠DME=60°，
∴∠BMN=∠DME，
∴∠BMN-∠DMN=∠DME-∠DMN，即∠BMD=∠NME。
在△BMD和△NME中，
$\begin{cases} BM=NM \\ ∠BMD=∠NME \\ MD=ME \end{cases}$，
∴△BMD≌△NME（SAS），
∴∠NEM=∠BDM，NE=BD。
∵∠NEM+∠BEN=∠MED=60°，∠BDM+∠DMB=180°-∠MBD=120°，
又∠DMB=∠NME，∠NME+∠NEM=120°，
∴∠BEN=∠DMB，
∴△BEN是等边三角形，
∴∠EBN=60°，即∠EBD=60°。