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1. 如图，已知正方形 $ABCD$ 边长为 $4$，甲、乙两动点分别从顶点 $A$，$C$ 同时出发沿正方形的边开始运动，甲点按顺时针方向运动，乙点按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的速度的 $3$ 倍，则它们第 $2022$ 次相遇将在边
BC
上.
答案：
BC
2. 某同学在做一套数学试卷时，如果每小时做 $5$ 道题，恰好可以在预定的时间完成. 当他做完 $10$ 道题后，后续解题的效率提高了 $60\%$，不但提前 $3$ 小时完成，而且还多做了其他试卷中的 $6$ 道题. 请根据以上信息，求原试卷中一共有多少道题？
答案：
设原试卷中一共有$ x $道题。
预定完成时间为$ \frac{x}{5} $小时。
做完10道题所用时间：$ \frac{10}{5}=2 $小时。
效率提高60%后，每小时做题数：$ 5×(1+60\%)=8 $道。
实际做题总数为$ x+6 $道，后续做题数：$ (x+6)-10=x-4 $道。
后续做题时间：$ \frac{x-4}{8} $小时。
实际总时间：$ 2+\frac{x-4}{8} $小时。
根据提前3小时完成，可列方程：$ \frac{x}{5}-\left(2+\frac{x-4}{8}\right)=3 $。
解方程：
$\begin{aligned}\frac{x}{5}-2-\frac{x-4}{8}&=3\\8x - 80 - 5(x - 4)&=120\\8x - 80 -5x +20&=120\\3x -60&=120\\3x&=180\\x&=60\end{aligned}$
答：原试卷中一共有$ 60 $道题。
预定完成时间为$ \frac{x}{5} $小时。
做完10道题所用时间：$ \frac{10}{5}=2 $小时。
效率提高60%后，每小时做题数：$ 5×(1+60\%)=8 $道。
实际做题总数为$ x+6 $道，后续做题数：$ (x+6)-10=x-4 $道。
后续做题时间：$ \frac{x-4}{8} $小时。
实际总时间：$ 2+\frac{x-4}{8} $小时。
根据提前3小时完成，可列方程：$ \frac{x}{5}-\left(2+\frac{x-4}{8}\right)=3 $。
解方程：
$\begin{aligned}\frac{x}{5}-2-\frac{x-4}{8}&=3\\8x - 80 - 5(x - 4)&=120\\8x - 80 -5x +20&=120\\3x -60&=120\\3x&=180\\x&=60\end{aligned}$
答：原试卷中一共有$ 60 $道题。
3. 《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住 $7$ 人，则余下 $7$ 人无房可住；若每间住 $9$ 人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？
答案：
设店中共有$x$间房。
根据题意，若每间住$7$人，总人数为$7x + 7$；若每间住$9$人，住人的房间数为$x - 1$，总人数为$9(x - 1)$。
因为总人数不变，所以可列方程：$7x + 7 = 9(x - 1)$
解方程：
$7x + 7 = 9x - 9$
$7 + 9 = 9x - 7x$
$16 = 2x$
$x = 8$
答：店中共有$8$间房。
根据题意，若每间住$7$人，总人数为$7x + 7$；若每间住$9$人，住人的房间数为$x - 1$，总人数为$9(x - 1)$。
因为总人数不变，所以可列方程：$7x + 7 = 9(x - 1)$
解方程：
$7x + 7 = 9x - 9$
$7 + 9 = 9x - 7x$
$16 = 2x$
$x = 8$
答：店中共有$8$间房。
4. 在甲、乙、丙三个容器内分别装有浓度为 $10\%$ 的糖水 $50$ 克、$100$ 克、$150$ 克，现将某种浓度的糖水 $50$ 克倒入甲中，完全混合后，再从甲种取出 $50$ 克倒入乙中，完全混合后，再从乙中取出 $50$ 克倒入丙中，完全混合后发现丙的糖水浓度 $10.5\%$，求最早倒入甲容器中的糖水的浓度.
答案：
设最早倒入甲容器中的糖水浓度为$ x $（小数形式）。
1. 倒入甲容器后：
甲原有溶质：$ 50 × 10\% = 5 $克，倒入溶质：$ 50x $克。
甲溶质总量：$ 5 + 50x $克，溶液总量：$ 50 + 50 = 100 $克。
甲浓度：$ \frac{5 + 50x}{100} $。
2. 从甲取50克倒入乙后：
取出溶质：$ 50 × \frac{5 + 50x}{100} = \frac{5 + 50x}{2} $克。
乙原有溶质：$ 100 × 10\% = 10 $克，乙溶质总量：$ 10 + \frac{5 + 50x}{2} $克，溶液总量：$ 100 + 50 = 150 $克。
乙浓度：$ \frac{10 + \frac{5 + 50x}{2}}{150} $。
3. 从乙取50克倒入丙后：
取出溶质：$ 50 × \frac{10 + \frac{5 + 50x}{2}}{150} = \frac{10 + \frac{5 + 50x}{2}}{3} $克。
丙原有溶质：$ 150 × 10\% = 15 $克，丙溶质总量：$ 15 + \frac{10 + \frac{5 + 50x}{2}}{3} $克，溶液总量：$ 150 + 50 = 200 $克。
4. 丙浓度方程：
丙浓度为$ 10.5\% $，即溶质总量$ 200 × 10.5\% = 21 $克。
列方程：$ 15 + \frac{10 + \frac{5 + 50x}{2}}{3} = 21 $。
5. 解方程：
$\begin{aligned}\frac{10 + \frac{5 + 50x}{2}}{3} &= 6 \\10 + \frac{5 + 50x}{2} &= 18 \\frac{5 + 50x}{2} &= 8 \\5 + 50x &= 16 \\50x &= 11 \\x &= 0.22\end{aligned}$
6. 结果：$ x = 0.22 = 22\% $。
答：最早倒入甲容器中的糖水浓度为$ 22\% $。
1. 倒入甲容器后：
甲原有溶质：$ 50 × 10\% = 5 $克，倒入溶质：$ 50x $克。
甲溶质总量：$ 5 + 50x $克，溶液总量：$ 50 + 50 = 100 $克。
甲浓度：$ \frac{5 + 50x}{100} $。
2. 从甲取50克倒入乙后：
取出溶质：$ 50 × \frac{5 + 50x}{100} = \frac{5 + 50x}{2} $克。
乙原有溶质：$ 100 × 10\% = 10 $克，乙溶质总量：$ 10 + \frac{5 + 50x}{2} $克，溶液总量：$ 100 + 50 = 150 $克。
乙浓度：$ \frac{10 + \frac{5 + 50x}{2}}{150} $。
3. 从乙取50克倒入丙后：
取出溶质：$ 50 × \frac{10 + \frac{5 + 50x}{2}}{150} = \frac{10 + \frac{5 + 50x}{2}}{3} $克。
丙原有溶质：$ 150 × 10\% = 15 $克，丙溶质总量：$ 15 + \frac{10 + \frac{5 + 50x}{2}}{3} $克，溶液总量：$ 150 + 50 = 200 $克。
4. 丙浓度方程：
丙浓度为$ 10.5\% $，即溶质总量$ 200 × 10.5\% = 21 $克。
列方程：$ 15 + \frac{10 + \frac{5 + 50x}{2}}{3} = 21 $。
5. 解方程：
$\begin{aligned}\frac{10 + \frac{5 + 50x}{2}}{3} &= 6 \\10 + \frac{5 + 50x}{2} &= 18 \\frac{5 + 50x}{2} &= 8 \\5 + 50x &= 16 \\50x &= 11 \\x &= 0.22\end{aligned}$
6. 结果：$ x = 0.22 = 22\% $。
答：最早倒入甲容器中的糖水浓度为$ 22\% $。
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