《2025年评优监测课时作业七年级数学上册苏科版》

1. 请你将下面的两个正方形和两个长方形拼成一个较大的正方形，并列式计算所拼图形的面积.

答案： 所拼较大正方形的边长为$a + b$。
面积计算：
方法一：边长为$a + b$的正方形面积为$(a + b)^2$。
方法二：各图形面积之和为$a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$。
因此，所拼图形的面积为$a^2 + 2ab + b^2$（或$(a + b)^2$）。

2. 观察下图所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
①$1 = 1^2$；②$1 + 3 = 2^2$；③$1 + 3 + 5 = 3^2$；④$1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$；⑤$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$；
(2)通过猜想写出与第$n$个点阵相对应的等式；
(3)你能算出$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ·s + 10^3$的值吗?

答案：
(1)
④$1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$；
⑤$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$；
(2)
$1 + 3 + 5 + ·s + (2n - 1)=n^2$；
(3)
因为$1^3=1$，$2^3 = 8=1+7=1^2+3×2^2 + 2^2$（从整体规律看$1^3=1^2$，$1^3 + 2^3=3^2+(2 - 1)×2^2+2^2$实际根据前面规律$1^3+2^3=(1 + 2)^2$的推广），由前面点阵规律可知$1^3=1^2$，$1^3+2^3=(1 + 2)^2$，$1^3+2^3+3^3=(1 + 2+3)^2$，所以$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3+·s+10^3=(1 + 2 + 3+·s+10)^2$
$1+2+·s+10=\frac{10×(10 + 1)}{2}=55$
所以$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3+·s+10^3=55^2 = 3025$。

3. 拓展材料：$\vert a \vert$表示数$a$在数轴上的对应点与原点的距离.如：$\vert 5 \vert$表示$5$在数轴上的对应点到原点的距离，而$\vert 5 \vert = \vert 5 - 0 \vert$，即$\vert 5 - 0 \vert$表示$5$，$0$在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有$\vert 5 + 3 \vert = \vert 5 - (-3) \vert$表示$5$，$-3$在数轴上对应的两点之间的距离.一般地，点$A$，$B$在数轴上分别表示有理数$a$，$b$，那么$A$，$B$之间的距离可表示为$\vert a - b \vert$.完成下列题目：
(1)$A$，$B$分别为数轴上两点，$A$点对应的数为$-2$，$B$点对应的数为$4$：
①$A$，$B$两点之间的距离为6（写计算结果）；
②折叠数轴，使$A$点与$B$点重合，则表示$-3$的点与表示5的点重合；
③若在数轴上存在一点$P$到$A$的距离是点$P$到$B$的距离的$2$倍，则点$P$所表示的数是2或10；
④如果数轴上表示数$a$的点位于$-2$和$4$之间，那么$\vert a + 2 \vert + \vert a - 4 \vert =$6.
(2)求$\vert x - 2 \vert + \vert x + 2 \vert$的最小值为4，若满足$\vert x - 2 \vert + \vert x + 2 \vert = 6$时，则$x$的值是-3或3.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

答案：
(1)①6
②5
③2或10
④6
(2)4；-3或3