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2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
14. 有序实数组$(x_1,x_2,·s,x_n)(n \in N^*)$称为$n$维向量，$\vert x_1\vert + \vert x_2\vert + ·s + \vert x_n\vert$为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用。已知$n$维向量$\boldsymbol{a} = (x_1,x_2,·s,x_n)$，其中$x_i \in \{0,1,2\}$，$i = 1,2,·s,n$，记范数为奇数的$\boldsymbol{a}$的个数为$A_n$，则$A_4 =$
40
；$A_{2n + 1} =$\frac{3^{2n + 1}-1}{2}
(用含$n$的式子表示)。
答案：
$14.40 \frac{3^{2n + 1}-1}{2}($或$\frac{3×9^n-1}{2})【$解析】新定义+二项式定理+组合数的计算
【思维导图】已知条件→按照含1个数为1，3，5，⋯，2n+1进行讨论→乘法原理、加法原理$→A_{2n + 1}$
二项式定理$→(2 + 1)^{2n + 1}，$$(2 - 1)^{2n + 1}$的展开式
两式相减→得解.
当n = 4时，要使范数为奇数，则a可能由1个奇数和3个偶数构成，或由3个奇数和1个偶数构成.又x_i∈{0，1，2}，i = 1，2，3，4，所以$A_4=C_4^1·2^3+C_3^3·2=40.$当2n + 1为奇数时，在向量$α=(x_1，$$x_2，$⋯，x_n)的n个坐标中，要使得范数为奇数，则1的个数一定是奇数，所以可按照含1个数为1，3，5，⋯，2n + 1进行讨论(题眼)，所以$A_{2n + 1}=C_{2n + 1}^12^{2n}+C_{2n + 1}^32^{2n - 2}+C_{2n + 1}^52^{2n - 4}+⋯+C_{2n + 1}^{2n + 1}2^0.$由二项式定理可知$(2 + 1)^{2n + 1}=C_{2n + 1}^02^{2n + 1}+C_{2n + 1}^12^{2n}+C_{2n + 1}^22^{2n - 1}+⋯+C_{2n + 1}^{2n + 1}2^0，$$(2 - 1)^{2n + 1}=C_{2n + 1}^02^{2n + 1}-C_{2n + 1}^12^{2n}+C_{2n + 1}^22^{2n - 1}-⋯-C_{2n + 1}^{2n + 1}2^0[$关键：利用$(2 + 1)^{2n + 1}$和$(2 - 1)^{2n + 1}$的展开式通项]，以上两式相减，得$3^{2n + 1}-1=2A_{2n + 1}，$所以$A_{2n + 1}=\frac{3^{2n + 1}-1}{2}($或$\frac{3×9^n-1}{2}).$
【思维导图】已知条件→按照含1个数为1，3，5，⋯，2n+1进行讨论→乘法原理、加法原理$→A_{2n + 1}$
二项式定理$→(2 + 1)^{2n + 1}，$$(2 - 1)^{2n + 1}$的展开式
两式相减→得解.
当n = 4时，要使范数为奇数，则a可能由1个奇数和3个偶数构成，或由3个奇数和1个偶数构成.又x_i∈{0，1，2}，i = 1，2，3，4，所以$A_4=C_4^1·2^3+C_3^3·2=40.$当2n + 1为奇数时，在向量$α=(x_1，$$x_2，$⋯，x_n)的n个坐标中，要使得范数为奇数，则1的个数一定是奇数，所以可按照含1个数为1，3，5，⋯，2n + 1进行讨论(题眼)，所以$A_{2n + 1}=C_{2n + 1}^12^{2n}+C_{2n + 1}^32^{2n - 2}+C_{2n + 1}^52^{2n - 4}+⋯+C_{2n + 1}^{2n + 1}2^0.$由二项式定理可知$(2 + 1)^{2n + 1}=C_{2n + 1}^02^{2n + 1}+C_{2n + 1}^12^{2n}+C_{2n + 1}^22^{2n - 1}+⋯+C_{2n + 1}^{2n + 1}2^0，$$(2 - 1)^{2n + 1}=C_{2n + 1}^02^{2n + 1}-C_{2n + 1}^12^{2n}+C_{2n + 1}^22^{2n - 1}-⋯-C_{2n + 1}^{2n + 1}2^0[$关键：利用$(2 + 1)^{2n + 1}$和$(2 - 1)^{2n + 1}$的展开式通项]，以上两式相减，得$3^{2n + 1}-1=2A_{2n + 1}，$所以$A_{2n + 1}=\frac{3^{2n + 1}-1}{2}($或$\frac{3×9^n-1}{2}).$
15. （13分）有6名同学站成一排。
（1）甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数有多少。
（2）甲、乙不相邻，则不同的排法种数有多少。
（3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数有多少。
（1）甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数有多少。
（2）甲、乙不相邻，则不同的排法种数有多少。
（3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数有多少。
答案：
15.排列组合的应用
解：
(1)甲不站排头也不站排尾，则先排其余5人，有$A_5^5$种排法，甲插空，有$A_5^1$种，故共有$A_5^5A_5^1=480($种)不同排法.
(2)甲、乙不相邻，则先排其余4人，有$A_4^4$种不同排法，甲、乙两人再插空，有$A_5^2$种，故共有$A_4^4A_5^2=480($种)不同排法.
(3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则甲、乙捆绑在一起，有$A_2^2$种排法，先排列其余3人，有$A_3^3$种，甲、乙与丙再插空，有$A_3^2$种排法，故共有$A_2^2A_3^3A_3^2=144($种)不同排法.
解：
(1)甲不站排头也不站排尾，则先排其余5人，有$A_5^5$种排法，甲插空，有$A_5^1$种，故共有$A_5^5A_5^1=480($种)不同排法.
(2)甲、乙不相邻，则先排其余4人，有$A_4^4$种不同排法，甲、乙两人再插空，有$A_5^2$种，故共有$A_4^4A_5^2=480($种)不同排法.
(3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则甲、乙捆绑在一起，有$A_2^2$种排法，先排列其余3人，有$A_3^3$种，甲、乙与丙再插空，有$A_3^2$种排法，故共有$A_2^2A_3^3A_3^2=144($种)不同排法.
16. （15分）已知在$(1 - 2x)^n = a_0 + a_1x + ·s + a_nx^n$的展开式中，所有项的二项式系数之和为512。
（1）求$n$的值，并求展开式中所有项的系数和。
（2）求展开式中系数绝对值最大的项。
（1）求$n$的值，并求展开式中所有项的系数和。
（2）求展开式中系数绝对值最大的项。
答案：
16.二项式定理
解：
(1)展开式所有项的二项式系数和为2^n=512，所以n = 9.
令$f(x)=(1 - 2x)^9，$则所有项系数和为$a_0+a_1+⋯+a_10=f(1)=(1 - 2)^9=-1.$
(2)由题意得$a_n=C_9^n·(-2)^n，$不妨令b_n=|a_n|$=C_9^n·2^n，$则$\begin{cases}b_k≥b_{k - 1}\\b_k≥b_{k + 1}\end{cases}，$即$\begin{cases}C_9^k·2^k≥C_9^{k - 1}·2^{k - 1}\\C_9^k·2^k≥C_9^{k + 1}·2^{k + 1}\end{cases}$
化简可得$\begin{cases}\frac{10 - k}{k}·2≥1\\1≥\frac{9 - k}{k + 1}·2\end{cases}，$解得$\frac{17}{3}≤k≤\frac{20}{3}，$
因为k∈N，所以k = 6.
所以展开式中系数绝对值最大的项是第七项：$C_9^6·(-2x)^6=5376x^6.$
解：
(1)展开式所有项的二项式系数和为2^n=512，所以n = 9.
令$f(x)=(1 - 2x)^9，$则所有项系数和为$a_0+a_1+⋯+a_10=f(1)=(1 - 2)^9=-1.$
(2)由题意得$a_n=C_9^n·(-2)^n，$不妨令b_n=|a_n|$=C_9^n·2^n，$则$\begin{cases}b_k≥b_{k - 1}\\b_k≥b_{k + 1}\end{cases}，$即$\begin{cases}C_9^k·2^k≥C_9^{k - 1}·2^{k - 1}\\C_9^k·2^k≥C_9^{k + 1}·2^{k + 1}\end{cases}$
化简可得$\begin{cases}\frac{10 - k}{k}·2≥1\\1≥\frac{9 - k}{k + 1}·2\end{cases}，$解得$\frac{17}{3}≤k≤\frac{20}{3}，$
因为k∈N，所以k = 6.
所以展开式中系数绝对值最大的项是第七项：$C_9^6·(-2x)^6=5376x^6.$
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