《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. （15分）【跨学科】植物生长调节剂是一种对植物的生长发育有调节作用的化学物质，它在生活中的应用非常广泛。例如，在蔬菜贮藏前或者贮藏期间，使用一定浓度的植物生长调节剂，可抑制萌芽，保持蔬菜新鲜，延长贮藏期。但在蔬菜上残留的一些植物生长调节剂会损害人体健康。某机构研发了一种新型植物生长调节剂A，它能延长种子、块茎的休眠，进而达到抑制萌芽的作用。为了测试它的抑制效果，高三某班进行了一次数学建模活动，研究该植物生长调节剂A对甲种子萌芽的具体影响，通过实验，收集到A的浓度$u$（mol/L）与甲种子发芽率$Y$的数据。 

若直接采用实验数据画出散点图（如图1所示），除了最后一个数据点外，其他各数据点均紧靠坐标轴，这样的散点图给我们观察数据背后的规律造成很大的障碍；为了能够更好地观察现有数据，将其进行等价变形是一种有效的途径，通过统计研究我们引进一个中间量$x$，令$x = \frac{1}{2}\lg u + 7$，通过$x = \frac{1}{2}\lg u + 7$，将A浓度变量变换为A的浓度级变量，得到新的数据。

（1）如图2所示新数据的散点图，散点的分布呈现出很强的线性相关特征。请根据表中数据，建立$Y$关于$x$的回归直线方程$\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$。
（2）根据得到的回归直线方程，要想使得甲种子的发芽率不高于0.4，估计A浓度至少要达到多少mol/L。
附：对于一组数据$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$·s$，$(x_n,y_n)$，其回归直线方程$\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2}$，$\hat{a} = \overline{y} - \hat{b}\overline{x}$。

答案： 16.回归直线方程的应用
解：
(1)$\overline{x}=3$，$\overline{y}=0.5$（关键：求得平均数），$\sum_{i=1}^{5}(x_i-\overline{x})·(y_i-\overline{y})=-2.2$，$\sum_{i=1}^{5}(x_i-\overline{x})^2=10$，$\therefore\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{5}(x_i-\overline{x})·(y_i-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{5}(x_i-\overline{x})^2}=-0.22$（题眼）.$\therefore\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}=1.16$.$\therefore\hat{y}=-0.22x+1.16$.（7分）
(2)把$x=\frac{1}{2}\lg u+7$代入$\hat{y}=-0.22x+1.16$得$\hat{y}=-0.11\lg u-0.38$（关键：x代换成u），令$\hat{y}=-0.11\lg u-0.38\leq0.4$（题眼），解得$u\geq10^{-\frac{78}{11}}$.
估计A浓度至少要达到$10^{-\frac{78}{11}}mol/L$.（15分）