《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

7. A，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息$(x_{i},y_{i})$. A 小组根据表中数据，直接对$(x,y)$作线性回归分析，得到：回归直线方程$\hat{y}=0.4699x + 0.235$决定系数$R^{2}=0.8732$. B 小组先将数据按照变换$u = x^{2},v = y^{2}$进行整理，再对$u$，$v$作线性回归分析，得到：回归直线方程$\hat{v}=-0.5006u + 0.4922$，决定系数$R^{2}=0.9375$. 根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是(C)

A.$0.4699x - y + 0.235 = 0$
B.$0.5006x + y - 0.4922 = 0$
C.$\frac{0.5006x^{2}}{0.4922}+\frac{y^{2}}{0.4922}=1$
D.$\frac{x^{2}}{0.4922}+\frac{0.5006y^{2}}{0.4922}=1$

答案： 7.C 【解析】回归直线方程 $\because 0.9375＞0.8732,\therefore$ 选择
$\hat{v}=-0.5006u+0.4922$.由 $u=x^2,v=y^2$,可得 $y^2=$
$-0.5006x^2+0.4922$,整理得 $\frac {0.5006x^2}{0.4922}+\frac {y^2}{0.4922}=$
1.故选C.

8. 一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选四个球，已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为(C)

A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{8}{9}$
D.$\frac{8}{15}$

答案： 8.C 【解析】条件概率 从八个球中随机选四个球，记“取
出的球至少有两个是同一颜色”为事件 $A$，记“取出的球
恰好有两个颜色不同”为事件 $B$(易错：由于已知有两个
相同颜色的球，故需用条件概率公式求解)，事件 $A$ 包含
两种情况，“取出的球恰好有两个颜色相同”和“取出的
球恰好有两个颜色”，则 $P(A)=\frac {C_4^1C_3^2C_2^1C_1^1+C_4^2C_3^2}{C_8^4}=\frac {27}{35}$，
又 $P(AB)=\frac {C_4^1C_3^2C_2^1C_1^1}{C_8^4}=\frac {24}{35}$,所以 $P(B|A)=\frac {P(AB)}{P(A)}=$
$\frac {8}{9}$.故选C.

9. 已知由样本数据$(x_{i},y_{i})(i = 1,2,3,·s,10)$组成的一个样本，得到回归直线方程为$\hat{y}=-x + 3$，且$\overline{x}=4$. 剔除一个偏离直线较大的异常点$(-5,-1)$后，得到新的回归直线经过点$(6,-4)$. 则下列说法正确的是(BC)

A.相关变量$x$，$y$具有正相关关系
B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点$(5,-1)$
D.剔除该异常点后，随$x$值增加相关变量$y$值减小的速度变小

答案： 9.BC 【解析】回归直线方程的应用+相关系数 依题
意，原样本中，$\bar{y}=-4+3=-1$,剔除一个偏离直线较大
的异常点 $(-5,-1)$ 后,新样本中，$\bar{x}=\frac {4×10-(-5)}{9}=5$,
$\bar{y}=\frac {-1×10-(-1)}{9}=-1$,因此剔除该异常点后的回归
直线方程经过点 $(5,-1)$.故C正确.由新的回归直线经
过点 $(6,-4)$，得新的回归直线斜率为 $\frac {-4-(-1)}{6-5}=$
$-3$,因此相关变量 $x,y$ 具有负相关关系.故A错误.又
$|-3|＞1$,则剔除该异常点后，随 $x$ 值增加相关变量 $y$ 值
减小的速度变大.故D错误.由剔除的是偏离直线较大的异
常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即
样本相关系数的绝对值变大.故B正确.故选BC.

10. (2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口. 为了了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值$\overline{x}=2.1$，样本方差$s^{2}=0.01$. 已知该种植区以往的亩收入$X$服从正态分布$N(1.8,0.1^{2})$，假设推动出口后的亩收入$Y$服从正态分布$N(\overline{x},s^{2})$，则(若随机变量$Z$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，则$P(Z＜\mu+\sigma)\approx0.8413$)(BC)

A.$P(X＞2)＞0.2$
B.$P(X＞2)＜0.5$
C.$P(Y＞2)＞0.5$
D.$P(Y＞2)＜0.8$

答案： 10.BC 【解析】正态分布 对于A,B，因为 $X\sim$
$N(1.8,0.1^2)$,所以 $P(X＞2)=P(X＞1.8+0.2)＜$
$P(X＞1.8+0.1)\approx1-0.8413=0.1587＜0.2$.所以
A错误.$P(X＞2)＜P(X＞1.8)=0.5$.所以B正确.
对于C,D，因为 $Y\sim N(2.1,0.1^2)$,$P(Y＞2)＞P(Y＞$
$2.1)=0.5$.所以C正确.$P(Y＞2)=P(Y＞2.1-$
$0.1)=P(Y＜2.1+0.1)\approx0.8413＞0.8$.所以D错
误.故选BC.

11. 爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春. 除夕夜里小光用 3D 投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4 个环节. 小光按照以上 4 个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次. 假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为$\frac{3}{4}$，则(BCD)

A.事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B.“放烟花”“迎新春”环节均表演成功的概率为$\frac{9}{16}$
C.表演成功的环节个数的期望为 3
D.在表演成功的环节恰为 3 个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为$\frac{3}{4}$

答案： 11.BCD 互斥事件的概念+相互独立事件的概率乘法公
式+二项分布的期望公式+条件概率的计算公式 对于
A,事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞
旧岁环节”可以同时发生，故不互斥(关键：理解互斥事
件的概念).故A错误.对于B，因为各环节是否表演成
功互不影响，则由相互独立事件的概率乘法公式，得
“放烟花”“迎新春”环节均表演成功的概率为 $\frac {3}{4}×\frac {3}{4}=$
$\frac {9}{16}$.故B正确.对于C,记表演成功的环节个数为 $X$，则
由题意知 $X$ 服从二项分布 $X\sim B(4,\frac {3}{4})$,所以
$E(X)=4×\frac {3}{4}=3$(提示：若 $X$ 服从二项分布 $X\sim$
$B(n,p)$，则 $E(X)=np$).故C正确.对于D，由题意
知，每个环节表演失败的概率均为 $\frac {1}{4}$(题眼).记事件
$M$：“表演成功的环节恰为3个”，事件 $N$：“迎新春环节
表演成功”，则 $P(M)=\mathrm{C}_4^3(\frac {3}{4})^3(\frac {1}{4})^1=\frac {27}{64}$,
$P(NM)=\mathrm{C}_3^2(\frac {3}{4})^3(\frac {1}{4})^1=\frac {81}{256}$,所以 $P(N|M)=$
$\frac {P(NM)}{P(M)}=\frac {3}{4}$.故D正确.综上所述.故选BCD.