《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(D)


A.24种
B.30种
C.36种
D.48种

答案： 1.D【解析】计数原理　将题图从上而下4部分区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因此要分类讨论1，4同色与不同色两种情况.则不同的着色方法有4×3×2+4×3×2×1=48(种).故选D.

2. 已知$(1 + 2x)^n$的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的$x^4$项的系数为(D)

A.5
B.16
C.40
D.80

答案： 2.D【解析】二项式定理
∵(1+2x)^n的展开式中各项系数的和为243，
∴令x=1，代入可得3^n=243，解得n=5.则二项式为$(1+2x)^5，$该二项展开式的通项公式$T_{r+1}=C_5^r·1^{5-r}·(2x)^r=2^rC_5^rx^r，$令r=4，则该展开式中的$x^4$项的系数为$2^4·C_5^4=16×5=80.$故选D.

3. 某电影院中有如图所示A至J共10个座位，现有一对夫妇带领2个孩子(一男孩和一女孩)观看影片，要求妈妈和女儿不坐在同一行也不坐在同一列，爸爸和儿子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的就座方法总数为(C)


A.480
B.960
C.1040
D.1120

答案： 3.C【解析】分步乘法计数原理　第一步：先让妈妈和女儿就座，第一行选一个位置，则第二行有4个位置可选择，故妈妈和女儿的就座方法数为5×4×2=40；第二步：再让爸爸和儿子就座，若妈妈和女儿分别选A，H，则爸爸和儿子有BF，BI，BJ，CF，CG，CI，CJ，DF，DG，DJ，EF，EG，EI，共13种选择，故爸爸和儿子的就座方法数为2×13=26，根据分步乘法计数原理，共有40×26=1040(种).故选C.

4. 不等式$3A_x^3 \leq 2A_{x + 1}^2 + 6A_x^2$的解集为(A)

A.$\{3,4,5\}$
B.$\{3,4,5,6\}$
C.$\{x|3 \leq x \leq 5\}$
D.$\{x|3 \leq x \leq 6\}$

答案： 4.A【解析】排列数公式+解不等式　易知x≥3，x∈N.因为$A_x^3=x(x - 1)(x - 2)，$$A_{x + 1}^2=(x + 1)x，$$A_x^2=x(x - 1)，$所以原不等式可化为3x(x - 1)(x - 2)≤2x(x + 1)+6x(x - 1).又x≥3，故可得3≤x≤5(x∈N)，所以原不等式的解集为{3,4,5}.故选A.

5. 在$(3 - x)(1 - x)^5$展开式中，$x$的奇数次幂的项的系数和为(A)

A.$-64$
B.64
C.$-32$
D.32

答案： 5.A【解析】二项式定理
解法一：由题可得，令$(3 - x)(1 - x)^5=a_0+a_1x+a_2x^2+⋯+a_6x^6($题眼)，令x=1，则$a_0+a_1+a_2+⋯+a_6=0；$令x=-1，则$a_0 - a_1+a_2 - ⋯+a_6=128，$所以x的奇数次幂的项的系数之和为$a_1+a_3+a_5=-64.$故选A.
解法二：由题可得，$(1 - x)^5$展开式的通项公式$T_{r+1}=C_5^r(-1)^rx^r($题眼)，所以$(3 - x)(1 - x)^5$展开式中含x的奇次幂的项的系数之和为$3(-C_5^1 - C_5^3 - C_5^5)-C_5^0 - C_5^2 - C_5^4=-64.$故选A.

6. 阶乘是基斯顿·卡曼(Christian Kramp)于1808年发明的一种运算，正整数$n$的阶乘记为$n!$，它的值为所有小于或等于$n$的正整数的积，即$n! = 1×2×3×·s×(n - 1)×n$。根据上述材料，以下说法错误的是(D)

A.$4! = 24$
B.$8! = 40320$
C.$12! = 12×11!$
D.$1! + \frac{2!}{1!} + \frac{3!}{2!} + ·s + \frac{n!}{(n - 1)!} = n!$

答案： 6.D【解析】阶乘　根据阶乘的定义可得4!=1×2×3×4=24，故A正确；8!=1×2×3×⋯×8=40320，故B正确；12!=1×2×3×⋯×11×12=11!×12=12×11!，故C正确；$1+\frac{2!}{1!}+\frac{3!}{2!}+⋯+\frac{n!}{(n - 1)!}=1+2+3+⋯+n≠n!，$故D错误.故选D.

7. “五一”小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟、古城华严寺、北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法有(C)

A.360种
B.640种
C.1350种
D.1440种

答案： 7.C【解析】排列组合的应用　将2名金牌导游分配到3个景区，有3×3=9(种)分配方法，若每个风景区都要有银牌导游，则将银牌导游分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2.当银牌导游分成三组的人数为1,1,3时，共有$\frac{C_3^1C_2^1C_1^3}{A_2^2}×A_3^3×9=540($种)分配方法；当银牌导游分成三组的人数为1,2,2时，共有$\frac{C_3^1C_2^2C_1^2}{A_2^2}×A_3^3×9=810($种)分配方法，所以不同的分配方法共有540 + 810=1350(种).故选C.