《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 在$(x+\frac{1}{x})^n$的展开式中，若第3项的系数为10，则$n=$(B)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 1.B【解析】二项式定理由题知，在$(x+\frac{1}{x})^n$的展开式中，第3项的系数为$C_n^2=10$（题眼），解得$n=5$。故选B.

2. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂法有(C)


A.60种
B.62种
C.72种
D.70种

答案： 2.C【解析】计数原理先分两类.一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有两种涂法，D有一种涂法，共有$4×3×2×1=24$（种）涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有$4×3×2=24$（种），D只要不与C同色即可，故D有两种涂法.故不同的涂法共有$24+24×2=72$（种）.故选C.

3. 随机变量X的分布列为$P(X=0)=0.2$，$P(X=1)=a$，$P(X=2)=b$。若$E(X)=1$，则$D(X)=$(B)

A.0.2
B.0.4
C.0.6
D.0.8

答案： 3.B【解析】随机变量的分布列、均值和方差$\because$随机变量X的分布列为$P(X=0)=0.2$，$P(X=1)=a$，$P(X=2)=b$，又$E(X)=1$，$\therefore\begin{cases}0.2+a+b=1,\\0×0.2+1× a+2× b=1.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=0.6,\\b=0.2,\end{cases}$$\therefore D(X)=0.2×(0-1)^2+0.6×(1-1)^2+0.2×(2-1)^2=0.4$.故选B.

4. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为(D)

A.40
B.60
C.52
D.48

答案： 4.D【解析】排列组合有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，要求其中恰有一对双胞胎的选法分2步：第
检测卷
1步选出一对双胞胎，共有$C_4^1=4$种不同的选法，第2步从剩下的6人中选出其他2人，且不能是同一对双胞胎，这相当于从剩余三对双胞胎中选出两对，再从每对中各选出1人，共$C_3^2C_2^1C_2^1=12$种不同的选法，由分步乘法计数原理可知，满足条件的不同的选法种数为$4×12=48$.故选D.

5. 已知一批砂糖橘的果实横径(单位：mm)服从正态分布$N(45,5^2)$，其中果实横径落在$[40,55]$的砂糖橘为优质品，则这批砂糖橘的优质品率约为(B)
(若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx0.6827$，$P(\mu-2\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma)\approx0.9545$)

A.0.6827
B.0.8186
C.0.8413
D.0.9545

答案： 5.B【解析】正态分布的应用由题意，知$\mu=45$，$\sigma=5$，所以$P(40\leq X\leq50)=P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx0.6827$，$P(35\leq X\leq55)=P(\mu-2\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma)\approx0.9545$.所以$P(50\leq X\leq55)\approx\frac{0.9545-0.6827}{2}=0.1359$.所以$P(40\leq X\leq55)\approx0.6827+0.1359=0.8186$.则这批砂糖橘的优质品率约为0.8186.故选B.

6. 已知变量$x$，$y$线性相关，其一组样本数据$(x_i,y_i)(i=1,2,·s,9)$，满足$\sum_{i=1}^9x_i=33$，用最小二乘法得到的回归直线方程为$y=2x-1$。若增加一个数据$(-3,3)$后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据$(4,8)$的残差的绝对值为(A)

A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4

答案： 6.A【解析】回归直线方程+残差的绝对值由题意得$\overline{x}=\frac{33}{9}-\frac{11}{3}$，则$\hat{y}=2\overline{x}-1=2×\frac{11}{3}-1=\frac{19}{3}$，增加数据$(-3,3)$后，变量$x$的平均数$\overline{x}_1=\frac{33-3}{10}=3$，变量$y$的平均数$\overline{y}_1=-\frac{9×\frac{19}{3}+3}{10}=6$（易错：注意数据个数的变化，原数据是9个，增加一组数据后变为10个，计算总和时别遗漏或算错新加数据）.设修正后的回归直线方程为$y=2.1x+b$，则$6=2.1×3+b$，解得$b=-0.3$.所以修正后的回归直线方程为$y=2.1x-0.3$.当$x=4$时，$y=2.1×4-0.3=8.1$，故数据$(4,8)$的残差的绝对值为$|8-8.1|=0.1$（提示：残差是实际值与预测值的差）.故选A.

7. 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是$x$，第二次取出的球的数字是$y$。若事件$A=$“$x+y$为偶数”，事件$B=$“$x$，$y$中有偶数且$x\neq y$”，则$P(A|B)=$(C)

A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 7.C【解析】条件概率因为有放回地随机取球两次，所以$n(\Omega)=6×6=36$（提醒：注意有放回地随机取球与无放回地随机取球的区别）.因为事件$B=“x,y$中有偶数且$x\neq y$”，所以$n(B)=36-3×3-3=24$（题眼）（提醒：注意间接法的应用）.因为事件$A=“x+y$为偶数”，事件$B=“x,y$中有偶数且$x\neq y$”，所以事件$AB=“x,y$均为偶数且$x\neq y$”.所以$n(AB)=A_3^2=6$.所以$P(A|B)=\frac{n(AB)}{n(B)}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$.故选C.