《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

19. (17 分)【新定义】若$\xi,\eta$是样本空间$\Omega$上的两个离散型随机变量，则称$(\xi,\eta)$是$\Omega$上的二维离散型随机变量或二维随机变量. 设$(\xi,\eta)$的一切可能取值为$(a_{i},b_{j}),i,j = 1,2,·s$，记$p_{ij}$表示$(a_{i},b_{j})$在$\Omega$中出现的概率，其中$p_{ij}=P(\xi = a_{i},\eta = b_{j})=P[(\xi = a_{i})\cap(\eta = b_{j})]$.
(1) 将三个相同的小球等可能地放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，记 1 号盒子中的小球个数为$\xi$，2 号盒子中的小球个数为$\eta$，则$(\xi,\eta)$是一个二维随机变量.
（ⅰ）写出该二维离散型随机变量$(\xi,\eta)$的所有可能取值.
（ⅱ）若$(m,n)$是(1)中的值，求$P(\xi = m,\eta = n)$（结果用$m,n$表示）.
(2) $P(\xi = a_{i})$称为二维离散型随机变量$(\xi,\eta)$关于$\xi$的边缘分布律或边际分布律，求证：$P(\xi = a_{i})=\sum_{j = 1}^{+\infty}p_{ij}$.

答案： 19.条件概率+全概率公式+新定义
解：
(1)(i)该二维离散型随机变量$(\xi,\eta)$的所有可能
取值为$(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2)$,
$(2,0),(2,1),(3,0)$.
(4分)
(ii)由题意 $0\leq m+n\leq3$,
$P(\xi=m,\eta=n)=P(\xi=m|\eta=n)· P(\eta=n)$(题眼).
因为 $P(\eta=n)=\mathrm{C}_3^n(\frac {1}{3})^n(\frac {2}{3})^{3-n}$(提示：利用二项分
布求概率),
$P(\xi=m|\eta=n)=\mathrm{C}_{3-n}^{m-n}(\frac {1}{2})^{3-n}·\frac {2}{9}·\frac {1}{(3-m-n)!}$
(9分)
(2)证明：由定义及全概率公式知，
$P(\xi=a_i)=P(\xi=a_i)\cap[(\eta=b_1)\cup(\eta=b_2)\cup·s\cup$
$(\eta=b_j)]$(提示：全概率公式)
$=P[(\xi=a_i)\cap(\eta=b_1)]\cup[(\xi=a_i)\cap(\eta=b_2)]\cup·s\cup$
$[(\xi=a_i)\cap(\eta=b_j)]\}$
$=P[(\xi=a_i)\cap(\eta=b_1)]+P[(\xi=a_i)\cap(\eta=b_2)]+·s+$
$P[(\xi=a_i)\cap(\eta=b_j)]\}$
$=\sum_{j=1}^{+\infty}P(\xi=a_i,\eta=b_j)$
$=\sum_{j=1}^{+\infty}p_{ij}$.
(13分)
(17分)
方法技巧
全概率公式的应用条件：
(1)全概率公式用来计算一个复杂事件的概率，它需
要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运
用了“化整为零”的思想处理问题;
(2)全概率公式适用于所研究的事件试验前提或前一
步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的
事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率
公式.