《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 某商场东面和西面均有 4 个门，北面和南面均有 3 个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有(D)

A.12 种
B.24 种
C.7 种
D.14 种

答案： 1.D 【解析】分类加法计数原理 由题意知进入商场的不同方式共有4+4+3+3=14(种)，故选D.

2. 若多项式 $x^{2}+x^{10}=a_{0}+a_{1}(x+1)+·s +a_{9}(x+1)^{9}+a_{10}(x+1)^{10}$，则 $a_{3}=$(B)

A.56
B.$-120$
C.$-56$
D.120

答案： 2.B 【解析】二项式的展开式
解法一:令x=t-1,得$(t-1)^2+(t-1)^10=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+⋯+a_9t^9+a_10t^10，$所以$a_3=C_7^10×1^3×(-1)^7=-120.$故选B.
解法二:因为$x^2+x^10=[(x+1)-1]^2+[(x+1)-1]^10，$所以$a_3=C_7^10×1^3×(-1)^7=-120.$故选B.

3. 现有 5 名学生坐成一排，其中乙和甲相邻而坐，并且乙和丙也相邻而坐，则不同的坐法共有(A)

A.12 种
B.14 种
C.16 种
D.18 种

答案： 3.A 【解析】分步乘法计数原理+捆绑法 根据题意，分2步进行分析:①将甲、乙、丙三人看成一个整体，并且将乙安排在甲和丙的中间，有2种情况;②将这个整体与其他2人全排列，有$A_3^3=6($种)安排方法，则共有2×6=12(种)不同的坐法，故选A.

4. $(x + 1)^{2}(2-\frac{1}{\sqrt{x}})^{5}$的展开式中，常数项为(D)

A.32
B.42
C.196
D.202

答案： 4.D 【解析】二项式定理 由已知得二项式的展开式中的常数项为$C_2^5C_2^52^5+C_1^2xC_2^52^3(-1/√x)^2+C_2^2x^2C_2^1⋅(-1/√x)^4=2^5+C_1^2C_2^32^3+C_2^2C_2^1=32+160+10=202，$故选D.

5. 【传统文化】十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对。每对生肖相辅相成，构成一种完美人格。现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份。甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、羊和狗，丙同学所有的吉祥物都喜欢。如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有(B)

A.12
B.16
C.20
D.24

答案： 5.B 【解析】计数原理的应用 由题知，当甲选鼠和牛时，乙同学有2种选法，丙同学有4种选法，共有2×4=8(种)选法;当甲选马和羊时，乙同学有2种选法，丙同学有4种选法，共有2×4=8(种)选法，所以不同的选法种数共有8+8=16.故选B.

6. 【数学文化】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究。设 $a,b,m(m\gt0)$为整数，若 $a$和 $b$被 $m$除得的余数相同，则称 $a$和 $b$对模 $m$同余，记为 $a\equiv b(modm)$。若 $a = C_{20}^{1}· 2 + C_{20}^{2}· 2^{2}+·s + C_{20}^{20}· 2^{20}$，$a\equiv b(mod10)$，则 $b$的值可以是(B)

A.2 018
B.2 020
C.2 022
D.2 024

答案： 6.B 【解析】数学文化+二项式定理 因为$a=C_20^10⋅2+C_20^9⋅2^2+⋯+C_20^1⋅2^20，$所以$a+1=C_20^0+C_20^10⋅2+C_20^9⋅2^2+⋯+C_20^1⋅2^20=(1+2)^20=3^20=9^10=(10-1)^10=C_10^0×10^10-C_10^1×10^9+⋯-C_10^9×10+1，$所以$a=C_10^0×10^10-C_10^1×10^9+⋯-C_10^9×10=10(C_10^0×10^9-C_10^1×10^8+⋯-C_10^9).$即a被10除得的余数为0，结合选项可知只有2020被10除得的余数为0.故选B.

7. 某中学高三 14 班有 50 名学生，其中男生 20 人，女生 30 人，现采取分层随机抽样的方式从该班选取 5 名学生，再从选取的 5 名学生中随机选取 3 名学生参加学校的演讲比赛，则既有男生又有女生的选取方式有(D)

A.6 种
B.7 种
C.8 种
D.9 种

答案： 7.D 【解析】分层随机抽样+简单的排列组合 由题知男生和女生的人数比例是2:3，则从50名学生中选5名学生，选到的男生有5×2/5=2(名)，女生有5×3/5=3(名)，再从中随机选取3名，既有男生又有女生的情况有2种，情况一:1名男生2名女生，有$C_2^1C_3^2=6($种)选取方式;情况二:2名男生1名女生，有$C_2^2C_3^1=3($种)选取方式，故一共有6+3=9(种)选取方式.故选D.

8. 下列有关排列数、组合数的等式中，错误的是(C)

A.$C_{9}^{3}=C_{9}^{6}$
B.$A_{6}^{6}=6!$
C.$A_{4}^{2}=C_{6}^{2}$
D.$A_{10}^{4}=C_{10}^{4}A_{4}^{4}$

答案： 8.C 【解析】排列数公式+组合数公式 根据组合数公式可知$C_3^9=9!/3!(9-3)!，$$C_6^9=9!/6!(9-6)!，$显然两式相等，故A正确;根据排列数公式可知$A_6^6=6!，$故B正确;易知$A_2^4=4!/2!=12，$$C_2^6=6×5/2=15，$显然两式不相等，故C错误$;A_4^10=10!/6!，$$C_4^10A_4^4=10!/4!6!×4!，$显然两式相等，故D正确.故选C.