《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

6. 乒乓球(table tennis),被称为中国的“国球”,是一种世界流行的球类体育项目. 已知某次乒乓球比赛单局赛制为两球换发制,每人发两个球,然后由对方发球,先得$11$分者获胜.
(1)若单局比赛中,甲发球时获胜的概率为$\frac{2}{3}$,甲接球时获胜的概率为$\frac{1}{2}$,甲先发球,求单局比赛中甲$11:2$获胜的概率(参考数据$6^4 = 46656$).
(2)若比赛采用三局两胜制(当一队赢得两场胜利时,该队获胜,比赛结束),每局比赛甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$,每局比赛结果相互独立,记$X$为比赛结束时的总局数,求$X$的期望.

答案： 6.随机事件的概率+离散型随机变量的数学期望
解：
(1)设事件$A$为“若甲先发球，单局比赛甲$11:2$获胜”，事件$B$为“甲发球，甲败$2$次”，事件$C$为“乙发球，甲败$2$次”，事件$D$为“甲发球，甲败$1$次，乙发球，甲败$1$次”。这个单局比赛中，甲发球$6$次，乙发球$6$次，最后$1$次是甲发球甲赢，
$\therefore P(B)=C_6^2×(\frac{2}{3})^4×(\frac{1}{3})^2×(\frac{1}{2})^2×\frac{2}{3}=\frac{160}{6^6}$，
$P(C)=C_6^2×(\frac{1}{2})^4×(\frac{1}{2})^2×(\frac{2}{3})^6×\frac{2}{3}=\frac{640}{6^6}$，
$P(D)=C_6^2×(\frac{2}{3})^5×(\frac{1}{3})^1× C_6^1×(\frac{1}{2})^5×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{768}{6^6}$。
$\therefore P(A)=P(B)+P(C)+P(D)=\frac{1568}{6^6}=\frac{49}{1458}$。
(2)$\because$随机变量$X$的所有可能取值为$2,3$，
$\therefore P(X = 2)=(\frac{2}{3})^2+(\frac{1}{3})^2=\frac{5}{9}$。
$P(X = 3)=C_2^1×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+C_2^1×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$，
$\therefore E(X)=2×\frac{5}{9}+3×\frac{4}{9}=\frac{22}{9}$。

7. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局. 已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{2}$,且每次活动甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响.
(1)求在一次猜谜活动中,有一方获胜的概率.
(2)若有一方获胜则猜谜活动结束,否则猜谜继续,猜谜最多进行$3$次,求猜谜次数$X$的分布列和期望.

答案： 7.互斥事件的概率+独立事件的概率+随机变量的分布列及其期望
解：
(1)设事件$A$表示在一次猜谜活动中有一方获胜，事件$A$包含两种情况：甲猜对乙猜错或甲猜错乙猜对，则$P(A)=\frac{2}{3}×(1 - \frac{1}{2})+(1 - \frac{2}{3})×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，所以在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率为$\frac{1}{2}$。
(2)由题意知，猜谜次数$X$的所有可能取值为$1,2,3$(题眼)(说明：确定随机变量的取值要不重、不漏)，
$P(X = 1)=P(A)=\frac{1}{2}$，
$P(X = 2)=P(\overline{A}A)=(1 - \frac{1}{2})×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
$P(X = 3)=P(\overline{A}\overline{A})=(1 - \frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
所以$X$的分布列如下(提示：分布列完成后要检验是否正确，常用概率之和是否为$1$进行验证)：
|$X$| 1 | 2 | 3 |
|----|----|----|----|
|$P$|$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{4}$|
所以$X$的期望$E(X)=1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$。