《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有 6 位男生、4 位女生进入决赛。现通过抽签决定出场顺序，记事件 $ A $ 表示“第一位出场的是女生”，事件 $ B $ 表示“第二位出场的是女生”，则(BCD)

A.$ P(AB) = \frac{3}{5} $
B.$ P(B|A) = \frac{1}{3} $
C.$ P(A) = P(B) $
D.$ P(A \cup B) = \frac{2}{3} $

答案： 10.BCD[解析]条件概率+和事件的概率公式 对于A，$P(AB)=\frac{C_{4}^{1} · C_{3}^{1} · A_{8}^{8}}{A_{10}^{10}}=\frac{4 × 3 × A_{8}^{8}}{10 × 9 × A_{8}^{8}}=\frac{2}{15}$，故A错误。对于B，$P(A)=\frac{C_{4}^{1} · A_{9}^{9}}{10 × A_{9}^{9}}=\frac{4 × A_{9}^{9}}{10 × A_{9}^{9}}=\frac{2}{5}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{3}$。故B正确。对于C，事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生。所以$P(B)=\frac{C_{6}^{1} · C_{4}^{1} · A_{8}^{8} + C_{4}^{1} · C_{3}^{1} · A_{8}^{8}}{A_{10}^{10}}=\frac{6 × 4 × A_{8}^{8} + 4 × 3 × A_{8}^{8}}{10 × 9 × A_{8}^{8}}=\frac{2}{5}$。所以$P(A)=P(B)$。故C正确。对于D，$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}-\frac{2}{15}=\frac{2}{3}$，故D正确。故选BCD。

11. 假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布 $ N(500,5^2) $(单位：g)，生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为 $ x $ g，随机变量 $ x $ 服从正态密度函数 $ \varphi(x) = \frac{1}{10\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - 1000)^2}{200}} $，其中 $ x \in \mathbf{R} $，则(AD)
附：随机变量 $ \xi \sim N(\mu,\sigma^2) $，则 $ P(\mu - \sigma ＜ \xi ＜ \mu + \sigma) \approx 0.683 $，$ P(\mu - 2\sigma ＜ \xi ＜ \mu + 2\sigma) \approx 0.954 $，$ P(\mu - 3\sigma ＜ \xi ＜ \mu + 3\sigma) \approx 0.997 $。

A.正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于 485 g 的概率约为 $ 0.15\% $
B.生产线乙的食盐质量 $ x \sim N(1000,100^2) $
C.生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D.生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于 515 g，于是判断出该生产线出现异常是合理的

答案： 11.AD[解析]正态分布 由题知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，其中$X \sim N(500,5^{2})$，其中$\mu = 500$，$\sigma = 5$。对于A，$P(X ＜ 485)=P(X ＜ \mu - 3\sigma) \approx \frac{1 - 0.997}{2}=0.15\%$（题眼），故A正确；对于B，随机变量x服从正态密度函数$\varphi(x)=\frac{1}{10\sqrt{2\pi}} · e^{-\frac{(x - 1000)^{2}}{200}}$，可知$\mu = 1000$，$\sigma = 10$（题眼），$\therefore$生产线乙的食盐质量$x \sim N(1000,10^{2})$。故B错误；对于C，生产线乙产出的包装食盐不一定比生产线甲产出的包装食盐质量重（题眼），故C错误；对于D，$P(X ＞ 515)=P(X ＞ \mu + 3\sigma) \approx \frac{1 - 0.997}{2}=0.15\%$（题眼），说明生产线甲抽到质量大于515g的可能性很低，$\therefore$随机抽取两包食盐的质量均大于515g，则可以判断出该生产线出现异常是合理的。故D正确。故选AD。

12. 投掷两枚骰子，当至少一枚 5 点或一枚 6 点出现时，就说这次试验成功，则在 10 次试验中成功次数的均值为$\frac{50}{9}$。

答案： 12.$\frac{50}{9}$[解析]随机事件的概率+二项分布 由题可得，投掷两枚骰子，试验成功的概率为$1 - \frac{2}{3} × \frac{2}{3}=\frac{5}{9}$。在10次试验中，试验成功的次数服从二项分布$X \sim B(10,\frac{5}{9})$，所以其均值$E(X)=10 × \frac{5}{9}=\frac{50}{9}$。

13. 某地 7 个贫困村中有 3 个村是深度贫困，现从中任意选 3 个村，下列事件中概率等于 $ \frac{6}{7} $ 的是②。
①至少有 1 个深度贫困村；
②有 1 个或 2 个深度贫困村；
③有 2 个或 3 个深度贫困村；
④恰有 2 个深度贫困村。

答案： 13.②[解析]超几何分布 用X表示这7个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，所以$P(X = k)=\frac{C_{3}^{k}C_{4}^{3 - k}}{C_{7}^{3}}$。因为$P(X = 0)=\frac{C_{3}^{0}C_{4}^{3}}{C_{7}^{3}}=\frac{4}{35}$，$P(X = 1)=\frac{C_{3}^{1}C_{4}^{2}}{C_{7}^{3}}=\frac{18}{35}$，$P(X = 2)=\frac{C_{3}^{2}C_{4}^{1}}{C_{7}^{3}}=\frac{12}{35}$，$P(X = 3)=\frac{C_{3}^{3}C_{4}^{0}}{C_{7}^{3}}=\frac{1}{35}$，所以$P(X = 1)+P(X = 2)=\frac{6}{7}$，即有1个或2个深度贫困村的概率为$\frac{6}{7}$。故填②。

14. 某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：

参考数据：$ \overline{x} = 4 $，$ \overline{y} = 19 $，$ \sum_{i = 1}^{7}x_i^2 = 140 $，$ \sum_{i = 1}^{7}y_i^2 = 2695 $，$ \sum_{i = 1}^{7}x_iy_i = 600 $，$ \sqrt{6} \approx 2.45 $，相关系数 $ r = \frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \overline{x})^2} · \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(y_i - \overline{y})^2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_iy_i - n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}x_i^2 - n\overline{x}^2}} · \frac{1}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}y_i^2 - n\overline{y}^2}} $。
由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数 $ y $ 与天数 $ x $ 之间是正相关(填“正”或“负”)，其相关系数 $ r \approx $0.99(结果保留两位小数)。

答案： 14.正 0.99 [解析]相关系数 由表中数据得y随x的增大而增大，所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关。$r=\frac{\sum_{i = 1}^{7}x_{i}y_{i}-7\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{7}x_{i}^{2}-7\overline{x}^{2}}}·$

$\frac{1}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{7}y_{i}^{2}-7\overline{y}^{2}}}=\frac{600 - 7×4×19}{\sqrt{140 - 7×4^{2}}}×\frac{1}{\sqrt{2695 - 7×19^{2}}}=$

$\frac{68}{2\sqrt{7}}×\frac{1}{2\sqrt{42}}\approx\frac{17}{7×2.45}\approx0.99$.