《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 有 6 名男教师和 5 名女教师,从中选出 2 名男教师、1 名女教师组成一个支教小组,则不同的选法共有 (C)

A.60 种
B.70 种
C.75 种
D.150 种

答案： 1.C【解析】排列组合 由题可得，不同的选法有$C_{6}^{2}C_{5}^{1}=$75(种).故选C.

2. 把 5 个相同的小球分给 3 个小朋友,使每个小朋友都能分到小球的分法有 (B)

A.4 种
B.6 种
C.21 种
D.35 种

答案： 2.B【解析】隔板法 利用隔板法(题眼)可知，使每个小朋友都能分到小球的分法有$C_{4}^{2}=6$(种)，故选B.

3. 从数字 0,1,2,3,4 中选四个组成没有重复数字且比 2 024 大的四位数有 (D)

A.52 个
B.64 个
C.66 个
D.70 个

答案： 3.D【解析】排列 当首位大于2时有$2A_{4}^{3}=48$(个)；当首位为2，第二位非0时有$3A_{3}^{2}=18$(个)；当首位为2，第二位为0时有$2A_{2}^{2}=4$(个).综上，共有48+18+4=70(个).故选D.

4. A,B,C 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划,每位学生只能报一所大学. 某中学现有四位学生报名,若每所大学都有该中学的学生报名,则不同的报名方法共有 (B)

A.30 种
B.36 种
C.72 种
D.81 种

答案： 4.B【解析】排列+组合
解法一：设这四位同学分别为甲、乙、丙、丁，由题意将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2,1,1，然后分配到A，B,C三所学校，则不同的报名方法共有$3C_{2}^{1}C_{1}^{1}C_{1}^{1}=$36(种).故选B.
解法二：先从四位同学中选两人作为一组，有$C_{4}^{2}=6$(种)选法(方法：捆绑法)，再全排列分给三所学校，有$A_{3}^{3}=$6(种)分法，$\therefore$共有$6×6=36$(种)方法.故选B.
排列、组合的应用

5. 将序号分别为 1,2,3,4,5 的五张参观券全部分给甲、乙、丙、丁四人,每人至少 1 张,如果分给甲的两张参观券是连号,那么不同分法的种数是 (A)

A.24
B.6
C.60
D.120

答案： 5.A【解析】计数原理 分2步进行：①将连号的两张参观券分给甲，有1和2,2和3,3和4,4和5，共4种情况；②将剩下的3张参观券分给其他三人，有$A_{3}^{3}=6$(种)分法，则满足题意的不同的分法共有$4×6=24$(种).故选A.

6. 现有 10 张奖券,其中有一、二、三等奖各 1 张,其余 7 张无奖. 现将这 10 张奖券随机分发给 5 名同学,每人 2 张,则恰有两人获奖的情况数是 (B)

A.30
B.60
C.90
D.120

答案： 6.B【解析】排列组合的应用 先将一、二、三等奖这3张奖券分成两组，共$C_{3}^{2}=3$(种)情况，再将这两组分给5名同学中的任意2人，共有$3× A_{5}^{2}=60$(种)情况，其余用无奖的奖券补齐，所以恰有两人获奖的情况数为60.故选B.

7. 欧拉函数 $\varphi(n)(n \in \mathbf{N}^{*})$ 的函数值等于所有不超过正整数 $n$,且与 $n$ 互素的正整数的个数,例如:$\varphi(1)=1,\varphi(4)=2$,现将 $\varphi(2),\varphi(4),\varphi(6),\varphi(8),\varphi(10)$ 的函数值排成一列,则组成的不同五位数的个数为 (C)

A.60
B.15
C.30
D.120

答案： 7.C【解析】排列 由题意可知，$\varphi(2)=1$，$\varphi(4)=2$，$\varphi(6)=2$，$\varphi(8)=4$，$\varphi(10)=4$(题眼)，将$\varphi(2)$，$\varphi(4)$，$\varphi(6)$，$\varphi(8)$，$\varphi(10)$的函数值排成一列，则组成不同的五位数的个数为$\frac{A_{5}^{5}}{A_{2}^{2}A_{2}^{2}}=30$(提示：倍缩法).故选C.

8. 若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉和郁金香共 6 盆鲜花放入 3 个不同的会议室中,每个会议室放 2 盆花,其中牡丹和郁金香必须放入同一个会议室,则不同的放法种数为 (B)

A.12
B.18
C.36
D.54

答案： 8.B【解析】排列组合 首先选择一个会议室放牡丹和郁金香，有$C_{3}^{1}$种放法，然后将剩余的4盆鲜花在其余2个会议室中每个会议室放2盆，有$C_{4}^{2}$种放法，则不同的放法共有$C_{3}^{1}C_{4}^{2}=18$(种).故选B.

9. (2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生,已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生,则不同的抽样结果共有 (D)

A.$C_{400}^{15} · C_{200}^{15}$ 种
B.$C_{400}^{20} · C_{200}^{40}$ 种
C.$C_{400}^{30} · C_{200}^{30}$ 种
D.$C_{400}^{40} · C_{200}^{20}$ 种

答案： 9.D【解析】分层随机抽样+组合数+分步乘法计数原理 由分层随机抽样，知初中部抽取$\frac{400}{600}×60=40$(人)(题眼)，则高中部抽取20人，则不同的抽样结果共有$C_{400}^{40}· C_{200}^{20}$种.故选D.

10. 一对夫妻带着 3 个小孩和一个老人,手拉着手围成一圈跳舞,3 个小孩不相邻的站法种数是 (B)

A.6
B.12
C.18
D.36

答案： 10.B【解析】排列组合 第一步，先让夫妻和老人站成一圈，因为圆形排列没有首尾之分，所以固定其中任意一人，并从此位置把圆展开成一条直线，让其余2人进行全排列，有$A_{2}^{2}$种站法；第二步，让3个小孩插空站到3个大人形成的3个空位中，有$A_{3}^{3}$种站法，所以3个小孩不相邻的站法种数为$A_{2}^{2}A_{3}^{3}=12$.故选B.
方法技巧
(1)圆排列：将$n$个不同的元素排列在圆周上的$n$个无差别的等分点上，这样的排列称为圆排列，圆排列的方法数是$(n - 1)!$种；
(2)链排列：将$n$个不同的元素的圆排列翻转后仍看成一样的排列称为链排列，链排列的方法数为$\frac{(n - 1)!}{2}$种.