《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

29. 从 1,2,3,4,5,6 中任取 5 个数字,随机填入如图所示的 5 个空格中.

(1)若填入的 5 个数字中有 1 和 2,且 1 和 2 不能相邻,试问不同的填法有多少种?
(2)若填入的 5 个数字中有 1 和 3,且区域 A,B,C 中有奇数,试问不同的填法有多少种?

答案： 29.排列与组合的应用
解：
(1)(ⅰ)在3,4,5,6这四个数中任选3个数排列，有$A_{4}^{3}=24$(种)情况.
(ⅱ)3个数中共有4个空，将1和2插空，有$A_{4}^{2}=$12(种)情况，
$\therefore$不同的填法有$24×12=288$(种).
(2)若填入的5个数字中有1和3，再从2,4,5,6中任取3个数字，有$C_{4}^{3}=4$(种)情况，将这5个数字全排列，有$A_{5}^{5}=120$(种)情况，
$\therefore$共有$4×120=480$(种)情况.
若区域A,B,C中无奇数，则只能为2,4,6，则有$A_{3}^{3}· A_{2}^{2}=12$(种)情况，
$\therefore$填入的5个数字中有1和3，且区域A,B,C中有奇数，不同的填法有480 - 12=468(种).

30. 达活泉月季园位于河北省邢台市达活泉公园东部,占地面积 4 700 m²,共收集 6 大类 23 个月季品种 4.3 万株,是集观光、科普、研究、展示及繁育等多种功能于一体的花卉展园. 某天,甲游客计划按照一定的先后顺序去该月季园观赏北京红、红从容、黄从容、醉红颜、白佳人、金凤凰这 6 种月季花,且甲第一个观赏的不是北京红.
(1)求甲不同的观赏方案数.
(2)若甲上午和下午均观赏 3 种月季花,且观赏红从容和黄从容的时间一个在上午,一个在下午,求甲不同的观赏方案数.

答案： 30.排列与组合的应用
解：
(1)甲第一个观赏的不是北京红，则甲第一个观赏的方案数为$C_{5}^{1}=5$，剩下5种月季花，甲依次观赏的方案数为$A_{5}^{3}=120$，
则甲不同的观赏方案数为$5×120=600$.
(2)(ⅰ)当红从容在上午第一个观赏时，黄从容只能在下午观赏，其余4种月季花可任意选择，则方案数为$C_{3}^{1}A_{4}^{4}=72$.
(ⅱ)当红从容在上午第二个或第三个观赏时，黄从容只能在下午观赏，上午第一个需从醉红颜、白佳人、金凤凰中选择，其余3种月季花可任意选择，则方案数为$C_{2}^{1}C_{3}^{1}C_{3}^{1}A_{3}^{3}=108$，
红从容在上午观赏，黄从容在下午观赏的方案数为$72 + 108=180$，红从容在下午观赏，黄从容在上午观赏的方案数也为180.则不同的观赏方案数为180+180=360.

31. (1)一场班级元旦晚会有 2 个唱歌节目 a 和 b;2 个相声节目 1 和 2. 要求排出一个节目单,满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目. 列出所有可能的排列.
(2)7 个人排成一排拍照片,若要求甲、乙、丙 3 人必须相邻,并且丁和戊不相邻,有多少种不同的排法(结果用数字表示)?
(3)从 4 名男青年教师和 5 名女青年教师中选出 4 名教师参加新教材培训,要求至少有 2 名男教师和 1 名女教师参加,有多少种不同的选法(结果用数字表示)?

答案： 31.排列与组合的应用
解：
(1)满足条件的排列为a12b,a21b,b12a,b21a.
(2)甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有$A_{3}^{3}A_{3}^{3}A_{2}^{2}=432$(种)排法.
(3)选2名男教师与2名女教师，共有$C_{5}^{2}C_{3}^{2}=60$(种)选法，选3名男教师与1名女教师，共有$C_{5}^{3}C_{3}^{1}=20$(种)选法，所以共有60+20=80(种)选法.