《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 如图，在平行六面体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中，以各顶点为起点和终点的向量中，与 $\overrightarrow{AA'}$ 一定相等的向量有 (A)


A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

答案： 1.A【解析】相等向量　由题图可知，与$\overrightarrow{AA^{\prime}}$相等的向量有$\overrightarrow{BB^{\prime}},\overrightarrow{CC^{\prime}},\overrightarrow{DD^{\prime}}$，共$3$个，故选A

2. 若直线 $l$ 的方向向量与平面 $\alpha$ 的法向量的夹角等于 $110^{\circ}$，则直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成的角等于 (A)

A.$20^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.以上均错

答案： 2.A【解析】平面的法向量+直线与平面所成的角　因为直线$l$的方向向量与平面$\alpha$的法向量的夹角等于$110^{\circ}$，所以直线$l$与平面$\alpha$所成的角为$110^{\circ}-90^{\circ}=20^{\circ}$.故选A.

3. 若两个不同平面 $\alpha,\beta$ 的一个法向量分别为 $\boldsymbol{u}=(1,2,-1),\boldsymbol{v}=(2,3,8)$，则 (B)

A.$\alpha//\beta$
B.$\alpha\perp\beta$
C.$\alpha,\beta$ 相交但不垂直
D.以上均不正确

答案： 3.B【解析】面面垂直的充要条件　由题可知$\boldsymbol{u}·\boldsymbol{v}=(1,2,-1)·(2,3,8)=0$，所以$\boldsymbol{u}\perp\boldsymbol{v}$，即$\alpha\perp\beta$.故选B

4. 设 $A,B,C,D$ 是半径为 1 的球 $O$ 的球面上的四个点. 设 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$，则 $|AD| + |BD| + |CD|$ 不可能等于 (A)

A.3
B.$\frac{7}{2}$
C.4
D.$3\sqrt{2}$

答案： 4.A【解析】空间向量的运算　$\because\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OD}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=3\overrightarrow{OD}$，$\therefore|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}|=3|\overrightarrow{OD}|=3$.$\because|\overrightarrow{AD}|+|\overrightarrow{BD}|+|\overrightarrow{CD}|\geqslant|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}|$，当且仅当$\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CD}$同向时，等号成立，而A，B，C，D在球面上，不可能共线，即$\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CD}$不同向，$\therefore|\overrightarrow{AD}|+|\overrightarrow{BD}|+|\overrightarrow{CD}|＞|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}|=3$，且$|\overrightarrow{AD}|+|\overrightarrow{BD}|+|\overrightarrow{CD}|＜6$.综上，$3＜|\overrightarrow{AD}|+|\overrightarrow{BD}|+|\overrightarrow{CD}|＜6$，故选A

5. 如图所示，在棱长为 1 的正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $P$ 为截面 $A_1C_1B$ 上的动点，若 $DP\perp A_1C$，则点 $P$ 的轨迹长度是 (B)


A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1

答案：
5.B【解析】立体几何中的动点轨迹问题　以$D$为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，因为正方体棱长为$1$，所以$D(0,0,0),A_{1}(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),C_{1}(0,1,1)$.所以$\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=(-1,1,0),\overrightarrow{A_{1}B}=(0,1,-1),\overrightarrow{A_{1}C}=(-1,1,-1)$.因为点$P$在平面$A_{1}C_{1}B$上，所以设$\overrightarrow{A_{1}P}=m\overrightarrow{A_{1}C_{1}}+n\overrightarrow{A_{1}B}=(-m,m+n,-n)$（题眼），$P(x,y,z)$.则$\overrightarrow{A_{1}P}=(x-1,y,z-1)$，所以$x=1-m$，$y=m+n$，$z=1-n$.所以$P(1-m,m+n,1-n)$.所以$\overrightarrow{DP}=(1-m,m+n,1-n)$.因为$DP\perp A_{1}C$，所以$\overrightarrow{DP}·\overrightarrow{A_{1}C}=m-1+m+n+n-1=0$，即$m+n=1$.所以点$P$在线段$BC_{1}$上.则点$P$的轨迹长度是$BC_{1}=\sqrt{2}$，
　　　　　　　　

6. 如图，在棱长为 $2\sqrt{2}$ 的正四面体(四个面都是正三角形)$ABCD$ 中，$E,F$ 分别为 $BC,CD$ 的中点，且 $\overrightarrow{AF}$ 在 $\overrightarrow{DE}$ 方向上的投影向量为 $\lambda\overrightarrow{DE}$，则 $\lambda$ 的值为 (B)


A.$\frac{1}{6}$
B.$-\frac{1}{6}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{6}$
D.$-\frac{\sqrt{6}}{6}$

答案：
6.B【解析】空间向量的坐标运算　如图，将正四面体嵌套在正方体内，并以$A$为坐标原点，建立空间直角坐标系，因为正四面体$ABCD$的棱长为$2\sqrt{2}$，所以正方体的棱长为$2$.则$A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,2),D(2,0,2),E(1,2,1),F(1,1,2)$，可得$\overrightarrow{AF}=(1,1,2),\overrightarrow{DE}=(-1,2,-1)$，则$\overrightarrow{AF}$在$\overrightarrow{DE}$方向上的投影向量为$\frac{\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{DE}|^{2}}·\overrightarrow{DE}=\frac{-1}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{DE}$，所以$\lambda$的值为$-\frac{1}{6}$.故选B.
　　　　　　　

7. 在平行六面体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = AD = AA_1$，$\angle DAB = \angle BAA_1 = \angle DAA_1 = 60^{\circ}$，$\overrightarrow{A_1Q}=\lambda\overrightarrow{A_1B}(0\lt\lambda\lt1)$，则直线 $AC_1$ 与直线 $DQ$ 所成角的余弦值为 (A)

A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.1

答案：
7.A【解析】异面直线所成角　如图，设$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB},\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AD},\boldsymbol{c}=\overrightarrow{AA_{1}}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AA_{1}}=1$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AC_{1}}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{A_{1}B}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{DD_{1}}+\overrightarrow{D_{1}A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}Q}=\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}+\lambda(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})=\lambda\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+(1-\lambda)\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{AC_{1}}·\overrightarrow{DQ}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})·[\lambda\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+(1-\lambda)\boldsymbol{c}]=\lambda\boldsymbol{a}^{2}-\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+(1-\lambda)\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}+\lambda\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}^{2}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}+\lambda\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}+(1-\lambda)\boldsymbol{c}^{2}=\lambda-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\lambda+\frac{1}{2}\lambda-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lambda+\frac{1}{2}\lambda-1+\frac{1}{2}-\lambda+1-\lambda=0$（题眼），即$\overrightarrow{AC_{1}}\perp\overrightarrow{DQ}$，所以直线$\overrightarrow{AC_{1}}$与直线$DQ$所成角的余弦值为$0$.故选A