《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

19. (17 分)甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为 $ p(0 ＜ p ＜ 1) $，输的概率为 $ 1 - p $，每局比赛的结果是独立的。
(1) 当 $ p = \frac{2}{3} $ 时，求甲最终获胜的概率。
(2) 为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案。方案一：最终获胜者得 3 分，失败者得 -2 分；方案二：最终获胜者得 1 分，失败者得 0 分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大。

答案： 19.互斥事件+随机事件的概率+离散型随机变量的分布列与数学期望
解：
(1)记“甲最终以2：1获胜”为事件A，记“甲最终以2：0获胜”为事件B，“甲最终获胜”为事件C，
于是$C = A \cup B$，A与B为互斥事件（题眼）。
由于$P(A)=C_{2}^{1} · p · (1 - p) · p=\frac{8}{27}$，
$P(B)=p^{2}=\frac{4}{9}$，
则$P(C)=P(A)+P(B)=\frac{20}{27}$，
即甲最终获胜的概率为$\frac{20}{27}$。
(2)由
(1)可知，$P(C)=P(A)+P(B)=3p^{2} - 2p^{3}$（题眼）。
第1步：列出X的分布列与数学期望
若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3，-2，
$P(X = 3)=P(C)=3p^{2} - 2p^{3}$，
$P(X = -2)=1 - 3p^{2} + 2p^{3}$，
则X的分布列为
|X|3|-2|
|----|----|----|
|P|$3p^{2} - 2p^{3}$|$1 - 3p^{2} + 2p^{3}$|
则$E(X)=9p^{2} - 6p^{3} - 2 + 6p^{2} - 4p^{3}=-10p^{3} + 15p^{2} - 2$。
第2步：列出Y的分布列与数学期望
若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y可取1，0，
$P(Y = 1)=P(C)=3p^{2} - 2p^{3}$，
$P(Y = 0)=1 - 3p^{2} + 2p^{3}$，
则Y的分布列为
|Y|1|0|
|----|----|----|
|P|$3p^{2} - 2p^{3}$|$1 - 3p^{2} + 2p^{3}$|
则$E(Y)=3p^{2} - 2p^{3}$。
第3步：作差，再对p分类讨论，作出判断
所以$E(X) - E(Y)=-8p^{3} + 12p^{2} - 2=-4 × (p - \frac{1}{2})(2p^{2} - 2p - 1)$。
由于$0 ＜ p ＜ 1$，则$2p^{2} - 2p - 1=2p(p - 1) - 1 ＜ 0$，
于是$p = \frac{1}{2}$时，两种方案都可以选；
当$0 ＜ p ＜ \frac{1}{2}$时，$E(X) ＜ E(Y)$，应该选第二种方案；
当$\frac{1}{2} ＜ p ＜ 1$时，$E(X) ＞ E(Y)$，应该选第一种方案。