《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

18. (17 分) (1) 一条长椅上有 9 个座位，3 个人坐，若相邻 2 人之间至少有 2 个空椅子，共有几种不同的坐法？
(2) 一条长椅上有 7 个座位，4 个人坐，要求 3 个空位中，恰有 2 个空位相邻，共有多少种不同的坐法？

答案： 18.排列组合的应用
解:
(1)解法一:先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×)，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示(↓×□↓×□×↓×)，一是从4个空档中选2个空档各插入1张椅子，有$C_2^4$种插法;二是从4个空档中选1个空档插入2张椅子，有$C_1^4$种插法.再考虑3人可交换有$A_3^3$种方法.
所以，共有$A_3^3(C_2^4+C_1^4)=60($种). (8分)
解法二:先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有$A_3^5C_2^2$种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插法，所以所求的坐法数为$A_3^5⋅C_2^2=60($种). (8分)
(2)可先让4人坐在4个位置上，有$A_4^4$种排法，再让2个“元素”(一个是两个空位作为一个整体，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个空当中，有$A_2^5$种插法，所以所求的坐法数为$A_4^4⋅A_2^5=480($种). (17分)

19. (17 分) 已知 $11A_{n}^{3}-10C_{n}^{5}=0$，且 $(1 - 2x)^{n}=a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+·s + a_{n}x^{n}$。
(1) 求 $n$ 的值。
(2) 求 $a_{0}+a_{2}+a_{4}+·s +a_{n - 1}$ 的值。
(3) 求系数绝对值最大的项。

答案： 19.二项式定理
解:
(1)
∵$11A_3^n-10C_n^n=0,n≥5,n∈N*，$
∴11n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/5×4×3×2×1-10n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/5×4×3×2×1=0.
∴$n^2-7n-120=0.$
解得n=-8(舍)或n=15，
∴n=15. (4分)
(2)由
(1)得，n=15，
∴$(1-2x)^15=a_0+a_1x+a_2x^2+⋯+a_15x^15 ①，$
令①式中x=1，则$(1-2)^15=a_0+a_1+a_2+⋯+a_15，$
令①式中x=-1，
则$(1+2)^15=a_0-a_1+a_2-a_3+⋯+a_14-a_15，$
由两式相加，得$2(a_0+a_2+⋯+a_14)=3^15-1，$
∴$a_0+a_2+a_4+⋯+a_n-1=a_0+a_2+a_4+⋯+a_14=3^15-1/2. (12$分)
(3)由
(1)得，n=15，
设第k+1项系数的绝对值最大，
$C_k^15⋅2^k≥C_k+1^15⋅2^k+1，$
解得29/3≤k≤32/3，
又因为k∈N，所以k=10.
故系数绝对值最大的项为$T_11=C_10^15⋅2^10⋅x^10=3075072x^10. (17$分)