《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

8. 【传统文化】荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟,即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型,荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”. 有甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛,其中每局只有两人比赛,每局比赛必分胜负,本局比赛结束后,负的一方下场. 第$1$局由甲、乙对赛,接下来丙上场进行第$2$局比赛,来替换负的那个人,每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛. 设各局中双方获胜的概率均为$\frac{1}{2}$,各局比赛的结果相互独立.
(1)求前$3$局比赛甲都取胜的概率.
(2)用$X$表示前$3$局比赛中乙获胜的次数,求$X$的分布列和数学期望.

答案： 8.独立事件的概率+离散型随机变量分布列和数学期望
【思维导图】
(2)已知条件$\to X$的所有可能取值$\to X$取每个值时对应的概率$\to$列出分布列$\to$数学期望。
解：
(1)前$3$局比赛甲都获胜，故前$3$局甲都不下场的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$(提示：独立事件的概率公式)。
(2)由题意得$X$的所有可能取值为$0,1,2,3$，
其中$X = 0$表示第$1$局乙输，第$3$局是乙上场，且乙输，则$P(X = 0)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$；
$X = 1$表示第$1$局乙输，第$3$局是乙上场，且乙赢，或第$1$局乙赢，且第$2$局乙输，则$P(X = 1)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$；
$X = 2$表示第$1$局乙赢，第$2$局乙赢，第$3$局乙输，则$P(X = 2)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$；
$X = 3$表示第$1$局乙赢，且第$2$局乙赢，第$3$局乙赢，则$P(X = 3)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
所以$X$的分布列为
|$X$| 0 | 1 | 2 | 3 |
|----|----|----|----|----|
|$P$|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{8}$|$\frac{1}{8}$|
(提示：离散型随机变量的分布列)
$E(X)=0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{8}+3×\frac{1}{8}=\frac{9}{8}$(提示：离散型随机变量的数学期望)。

9. 为倡导_，实现废旧资源再利用,小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换,其中小明家有$2$台不同的玩具车和$2$个不同的玩偶,小亮家也有与小明家不同的$2$台玩具车和$2$个玩偶,他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.
(1)两人进行一次交换后,求小明仍有$2$台玩具车和$2$个玩偶的概率.
(2)两人进行两次交换后,记$X$为“小明手中玩偶的个数”,求随机变量$X$的分布列和数学期望.

答案： 9.独立事件的概率乘法公式+离散型随机变量的分布列与数学期望
解：
(1)若两人交换的是玩具车，则概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，若两人交换的是玩偶，则概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，故两人进行一次交换后，小明仍有$2$台玩具车和$2$个玩偶的概率为$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$(提醒：应用概率的加法时，需要满足两个条件：事件$A$和事件$B$是互斥的，即两个事件不可能同时发生；事件$A$和事件$B$是独立的，即事件$A$的发生不会影响事件$B$的发生，反之亦然)。
(2)$X$所有可能的取值为$0,1,2,3,4$(题眼)，一次交换后，小明有$1$个玩偶和$3$台玩具车的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，有$3$个玩偶和$1$台玩具车的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，经过两次交换后，
$P(X = 0)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{64}$，
$P(X = 1)=\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{7}{32}$，
$P(X = 2)=\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{17}{32}$，
$P(X = 3)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{7}{32}$，
$P(X = 4)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{64}$
故随机变量$X$的分布列为
|$X$| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|----|----|----|----|----|----|
|$P$|$\frac{1}{64}$|$\frac{7}{32}$|$\frac{17}{32}$|$\frac{7}{32}$|$\frac{1}{64}$|
$E(X)=0×\frac{1}{64}+1×\frac{7}{32}+2×\frac{17}{32}+3×\frac{7}{32}+4×\frac{1}{64}=2$。