《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

17. （15分）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为$\frac{7}{8}$，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为$\frac{1}{2}$。已知输入的问题表达不清晰的概率为$\frac{1}{5}$。
（1）求智能客服的回答被采纳的概率。
（2）在某次测试中输入了3个问题，设$X$表示智能客服的回答被采纳的次数。求$X$的分布列、期望及方差。

答案： 17.全概率公式+二项分布+离散型随机变量的分布列、期望及方差
解：
(1)设A=“智能客服的回答被采纳”，B=“输入问题表达不清晰”，由题意可知，$P(B)=\frac{1}{5}$，则$P(\overline{B})=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$，$P(A|B)=\frac{1}{2}$，$P(A|\overline{B})=\frac{7}{8}$（题眼），则$P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=\frac{1}{5}×\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{7}{8}=\frac{4}{5}$（提示：全概率公式）.
则智能客服的回答被采纳的概率为$\frac{4}{5}$.（6分）
(2)由题意得，X的所有可能取值为0,1,2,3.$X\sim B(3,\frac{4}{5})$（题眼）（提示：随机变量X服从二项分布）.
则$P(X=0)=C_3^0(\frac{4}{5})^0(\frac{1}{5})^3=\frac{1}{125}$，$P(X=1)=C_3^1(\frac{4}{5})^1(\frac{1}{5})^2=\frac{12}{125}$，$P(X=2)=C_3^2(\frac{4}{5})^2(\frac{1}{5})^1=\frac{48}{125}$，$P(X=3)=C_3^3(\frac{4}{5})^3(\frac{1}{5})^0=\frac{64}{125}$，所以X的分布列为
$X$0123
$P$$\frac{1}{125}$$\frac{12}{125}$$\frac{48}{125}$$\frac{64}{125}$
所以$E(X)=0×\frac{1}{125}+1×\frac{12}{125}+2×\frac{48}{125}+3×\frac{64}{125}=\frac{12}{5}$
【或$E(X)=3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}$提示：随机变量$X\sim B(n,p)$的期望公式$E(X)=np$】.
所以$D(X)=(0-\frac{12}{5})^2×\frac{1}{125}+(1-\frac{12}{5})^2×\frac{12}{125}+(2-\frac{12}{5})^2×\frac{48}{125}+(3-\frac{12}{5})^2×\frac{64}{125}=\frac{12}{25}$【或$D(X)=3×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}=\frac{12}{25}$提示：随机变量$X\sim B(n,p)$的方差公式$D(X)=np(1-p)$】.（15分）