《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

9. $(\sqrt{x}+\frac{2}{x})^{7}$的展开式，下列说法正确的是(BC)

A.展开式共有 7 项
B.展开式的二项式系数的和为 128
C.展开式中 $x^{2}$的系数为 14
D.展开式中第 3 项或者第 4 项的二项式系数最大

答案： 9.BC 【解析】二项式的展开式 对于$A,(√x+2/x)^7$的展开式有8项，故A错误.对于$B,(√x+2/x)^7$的展开式的二项式系数的和为$2^7=128，$故B正确.对于C，展开式的通项公式$T_r+1=C_r^7(√x)^7-r⋅(2/x)^r=C_7^r2^rx^(7-3r/2)($题眼)，令7-3r/2=2，得r=1，所以展开式中$x^2$的系数为$C_1^7×2^1=14.$故C正确.对于D，因为$(√x+2/x)^7$的展开式有8项，所以展开式中第4项或者第5项的二项式系数最大.故D错误.故选BC.

10. 已知 $(1 - 2x)^{n}=a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+·s + a_{n}x^{n}$，展开式中的所有项的二项式系数和为 64，下列说法正确的是(BCD)

A.$n = 8$
B.$a_{0}=1$
C.$a_{3}=-160$
D.$|a_{1}|+|a_{2}|+·s +|a_{n}|=3^{6}-1$

答案： 10.BCD 【解析】二项式定理 因为展开式中的所有项的二项式系数和为64，所以2^n=64.解得n=6.故A错误$.(1-2x)^6=a_0+a_1x+a_2x^2+⋯+a_6x^6，$令x=0，可得$a_0=1.$故B正确.因为$(1-2x)^6$展开式的通项$T_r+1=C_6^r(-2x)^r，$r∈{0,1,2,3,4,5,6}，所以$a_3x^3=C_3^6×(-2x)^3=-160x^3.$所以$a_3=-160.$故C正确.因为展开式的通项$T_r+1=C_6^r(-2x)^r，$r∈{0,1,2,3,4,5,6}，所以$a_1，$$a_3，$$a_5$＜0，a_0，a_2，a_4，a_6＞0.所以|$a_0$|+|$a_1$|+|$a_2$|+⋯+|$a_6$|$=a_0-a_1+a_2-⋯+a_6.$令x=-1，可得$a_0-a_1+a_2-⋯+a_6=3^6，$所以|$a_0$|+|$a_1$|+⋯+|$a_6$|$=3^6-1.$故D正确.故选BCD.

11. 【数学文化】我国古代的《易经》与“二进制”有着一定的联系，该书中有两类最基本的符号：“—”和“--”，其中“—”在二进制中记作“1”，“--”在二进制中记作“0”，其转化原理与“逢二进一”的法则相通，如符号“≡”对应的二进制数 $011_{(2)}$转化为十进制数的计算为 $011_{(2)}=0× 2^{2}+1× 2^{1}+1× 2^{0}=3$。若从两类符号中任取 2 个符号排列，则组成的十进制数可以为(AB)

A.1
B.2
C.4
D.6

答案： 11.AB 【解析】分类加法计数原理 根据题意，从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类.第一类:由两个“一”组成，二进制数为11_
(2)，转化为十进制数，为$1×2^1+1×2^0=3;$第二类:由两个“一”组成，二进制数为00_
(2)，转化为十进制数，为$0×2^1+0×2^0=0;$第三类:由一个“一”和一个“一”组成，二进制数为10_
(2)或01_
(2)，转化为十进制数，为$1×2^1+0×2^0=2$或$0×2^1+1×2^0=1，$所以从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数为0,1,2,3.故选AB.

12. $(x + y + 2)^{5}$的展开式中，$x^{3}y$的系数为40。

答案： 12.40 【解析】二项式定理 依题意，$(x+y+2)^5$的展开式中，含$x^3y$的项为$C_3^5x^3⋅C_1^2y⋅2=40x^3y，$所以$x^3y$的系数为40.

13. 【跨学科】在如图 1 的电路中，只合上一只开关以接通电路，有5种不同的方法；在如图 2 的电路中，合上两只开关以接通电路，有6种不同的方法。

答案： 13.5 6 【解析】计数原理 题图1中按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中任意合上一个即可，按照分类加法计数原理，有2+3=5(种)不同的方法.题图2中按要求接通电路，必须分两步进行，第一步，合上A中的任意一个开关;第二步，合上B中的任意一个开关.按照分步乘法计数原理，有2×3=6(种)不同的方法.

14. 【数学文化】程大位(1533—1606)是明代珠算发明家，徽州人。他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具。算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”。现有一种算盘(如图 1)共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字 5；梁下五珠，上拨一珠记作数字 1。例如：图 2 中算盘表示整数 506。如果拨动图 1 中算盘的 3 枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为26。

答案： 14.26 【解析】分类加法计数原理
解法一(枚举法):“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数为300,700.“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数为210,250,201,205,610,650，601,605.“百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数为120,102,160,106,111,151,115,155,520,502，560,506,511,551,515,555.则符合条件的三位整数的个数为26.
解法二(组合法):同一个档上拨动1枚算珠有梁上拨动一珠、梁下拨动一珠和梁下拨动两珠两种情况;同一个档上拨动3枚算珠有梁上拨动一珠、梁下拨动两珠和梁下拨动三珠两种情况，故符合条件的不同三位整数的情况为三个档各拨动一珠，共$C_1^3C_1^2C_1^1=8$个;一个档拨动一珠、一个档拨动两珠(必有一档为百位)，共$4C_1^2C_2^1=16$个;一个档拨动三珠(只能在百位上拨珠)，共$C_1^2=2$个，则符合条件的三位整数的个数为26.