《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. (15 分)某小微企业对其产品研发的年投入金额$x$（单位：万元）与其年销售量$y$（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表：

(1) 公司拟分别用①$y = bx + a$和②$y = e^{ax + m}$两种模型作为年销售量$y$关于年投入金额$x$的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的回归直线方程.
(2) 统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为 9.9 和 4.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为 10 万元时的年销售量.
参考公式：对于一组数据$(x_{i},y_{i})(i = 1,2,3,·s,n)$，其回归直线$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$.
参考数据：$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=42,\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})(z_{i}-\overline{z})=8.6,e^{2.48}\approx11.94$.

答案： 16.回归直线方程+非线性回归方程
解：
(1)由题知，$\bar{x}=\frac {1+5+7+8+9}{5}=6$，
$\bar{y}=\frac {2+3+6+8+11}{5}=6$，
$\bar{z}=\frac {0.7+1.1+1.8+2.1+2.4}{5}=1.62$，
所以 $\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2=(1-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+$
$(8-6)^2+(9-6)^2=40$.
(5分)
$\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\frac {42}{40}=1.05$.
所以 $\hat{a}=6-1.05×6=-0.3$(题眼)(关键：计算出相关
数值，代入公式计算回归系数).
所以模型①的回归直线方程为 $y=1.05x-0.3$.(8分)
由 $y=e^{\eta x+m}$,两边取自然对数可得 $\ln y=\eta x+m$，
即 $z=\eta x+m$，
$\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})(z_i-\bar{z})=\frac {8.6}{40}=0.215$.
所以 $\hat{\eta}=0.215$,
所以 $\hat{m}=1.62-0.215×6=0.33$.
所以模型②的回归方程为 $y=e^{0.215x+0.33}$.
(10分)
(2)因为 $9.9＞4.2$，
即模型②的残差平方和较小，
所以模型②的拟合效果更好(提示：残差平方和越小，
拟合效果越好).
当 $x=10$ 时，$y=e^{0.215×10+0.33}=e^{2.48}\approx11.94$，
即当年投入金额为10万元时的年销售量的估计值为
11.94万件.
(15分)
方法技巧
在解决非线性相关问题时，主要的方法是通过建立与
问题相关的初等函数模型，利用这些模型进行转化，
从而达到非线性相关问题与线性函数之间的对应
关系.

17. (15 分)【五育并举】为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平. 某体质监测中心抽取了该校 10 名学生进行体质测试，得到如下表格：

记这 10 名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为$\overline{x},s^{2}$. 经计算，$\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})^{2}=1690,\sum_{i = 1}^{10}x_{i}^{2}=33050$.
(1) 求$\overline{x}$.
(2) 规定体质测试成绩低于 50 分为不合格，从这 10 名学生中任取 3 名，记体质测试成绩不合格的人数为$X$，求$X$的分布列.
(3) 经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，用$\overline{x},s^{2}$的值分别作为$\mu,\sigma^{2}$的近似值，若监测中心计划从全市抽查 100 名高中生进行体质测试，记这 100 名高中生的体质测试成绩恰好落在区间$[30,82]$内的人数为$Y$，求$Y$的数学期望$E(Y)$.
附：若$\xi\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$P(\mu-\sigma\leq\xi\leq\mu+\sigma)\approx0.6827,P(\mu - 2\sigma\leq\xi\leq\mu + 2\sigma)\approx0.9545,P(\mu - 3\sigma\leq\xi\leq\mu + 3\sigma)\approx0.9973$.

答案： 17.平均数、方差+离散型随机变量的分布列+正态分
布+数学期望
解：
(1)$\bar{x}=\frac {1}{10}×(38+41+44+51+54+56+58+64+$
$74+80)=56$.
(3分)
(2)因为体质测试成绩不合格的学生有3名，
所以 $X$ 的可能取值为0,1,2,3.
(5分)
$P(X=0)=\frac {\mathrm{C}_7^3}{\mathrm{C}_{10}^3}=\frac {7}{24}$,$P(X=1)=\frac {\mathrm{C}_7^2\mathrm{C}_3^1}{\mathrm{C}_{10}^3}=\frac {21}{40}$,
$P(X=2)=\frac {\mathrm{C}_7^1\mathrm{C}_3^2}{\mathrm{C}_{10}^3}=\frac {7}{40}$,$P(X=3)=\frac {\mathrm{C}_3^3}{\mathrm{C}_{10}^3}=\frac {1}{120}$.
(8分)
所以 $X$ 的分布列为：
$X$ 0 1 2 3
$P$ $\frac {7}{24}$ $\frac {21}{40}$ $\frac {7}{40}$ $\frac {1}{120}$
(10分)
(3)因为 $\bar{x}=56$,$s^2=\frac {1}{10}×[18^2+15^2+12^2+5^2+$
$(-2)^2+0^2+2^2+8^2+18^2+24^2]=169$，
所以 $\mu=56$,$\sigma=13$(题眼).
(13分)
因为 $\mu-26=30$,$\mu+26=82$，
所以 $P(30\leq X\leq82)=P(\mu-2\sigma\leq\xi\leq\mu+2\sigma)\approx$
0.9545.
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间$[30,82]$内的
概率约为0.9545.
(14分)
因为100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间
$[30,82]$内的人数为 $Y\sim B(100,0.9545)$，
所以 $E(Y)=100×0.9545=95.45$.
(15分)