《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

19. （17分）【新定义】正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布，对于一个给定的连续型随机变量$X$，定义其累积分布函数为$F(x) = P(X\leq x)$。已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少有一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间正常工作相互独立。
（1）已知电源电压$X$（单位：V）服从正态分布$N(40,4)$，且$X$的累积分布函数为$F(x)$，求$F(44) - F(38)$。
（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间。已知随机变量$T$（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为$G(t) = \begin{cases}0, & t ＜ 0, \\ 1 - \frac{1}{4^t}, & t\geq0.\end{cases}$
（ⅰ）设$t_1 ＞ t_2 ＞ 0$，证明：$P(T ＞ t_1|T ＞ t_2) = P(T ＞ t_1 - t_2)$。
（ⅱ）若第$n$天元件A发生故障，求第$n + 1$天系统正常运行的概率。
附：若随机变量$Y$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，则$P(|Y - \mu| ＜ \sigma)\approx0.6827$，$P(|Y - \mu| ＜ 2\sigma)\approx0.9545$，$P(|Y - \mu| ＜ 3\sigma)\approx0.9973$。

答案： 19.新定义+正态分布+对立事件的概率
解：
(1)由题设得，$P(38＜X＜42)\approx0.6827$，$P(36＜X＜44)\approx0.9545$，所以$F(44)-F(38)=P(X\leq44)-P(X\leq38)=[P(40\leq X\leq44)+P(38\leq X\leq40)]\approx\frac{1}{2}×(0.9545+0.6827)=0.8186$.（6分）
(2)(i)证明：由题设得$P(T＞t_1|T＞t_2)=\frac{P[(T＞t_1)\cap(T＞t_2)]}{P(T＞t_2)}=\frac{P(T＞t_1)}{P(T＞t_2)}=\frac{1-P(T\leq t_1)}{1-P(T\leq t_2)}=\frac{1-G(t_1)}{1-G(t_2)}=\frac{1-(1-\frac{1}{4^{t_1}})}{1-(1-\frac{1}{4^{t_2}})}=\frac{\frac{1}{4^{t_1}}}{\frac{1}{4^{t_2}}}=4^{t_2-t_1}$，$P(T＞t_1-t_2)=1-P(T\leq t_1-t_2)=1-G(t_1-t_2)=4^{t_2-t_1}$，（9分）
所以$P(T＞t_1|T＞t_2)=P(T＞t_1-t_2)$.（11分）
(ii)由(i)得$P(T＞n+1|T＞n)=P(T＞1)=1-P(T\leq1)=1-G(1)=\frac{1}{4}$，（13分）
所以第$(n+1)$天元件B,C正常工作的概率均为$\frac{1}{4}$.
若使第$(n+1)$天系统仍正常工作，元件B,C必须至少有一个正常工作，因此所求概率为$1-(1-\frac{1}{4})^2=\frac{7}{16}$.（17分）