《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

10. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业(本科)通过高考招收飞行学生,报名的学生参加预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔等$5$项流程,其中前$4$项流程选拔均通过,则被确认为有效招飞申请,然后参加高考,由招飞院校择优录取. 据统计,每位报名学生通过前$4$项流程的概率依次约为$\frac{3}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{3},1$,假设学生能否通过这$5$项流程相互独立,现有某校高三学生甲、乙、丙三人报名民航招飞.
(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率.
(2)求甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率.
(3)根据甲、乙、丙三人的平时学习成绩,预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为$\frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{3}{5}$,设甲、乙、丙三人能被招飞院校录取的人数为$X$,求$X$的分布列及数学期望.

答案： 10.离散型随机变量的分布列及其期望+概率的乘法公式+独立重复试验
【思维导图】
(1)已知条件$\to$相互独立事件的概率公式$\to$得解。
(2)由
(1)且利用$3$次独立重复试验模型$\to$得解。
(3)由
(1)结论$\to$甲、乙、丙三人能被招飞院校录取的概率$\to X$的可能取值$\to P(X = 0),P(X = 1),P(X = 2),P(X = 3)\to$离散型随机变量的分布列$\to$数学期望。
解：
(1)因为每位报名学生通过前$4$项流程的概率依次约为$\frac{3}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{3},1$，且能否通过这$5$项流程相互独立，所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×1=\frac{1}{6}$。
(2)因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为$\frac{1}{6}$，所以甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率为$C_3^1×\frac{1}{6}×(1 - \frac{1}{6})^2=\frac{25}{72}$(提示：利用独立重复试验概率计算公式求解)。
(3)因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为$\frac{1}{6}$，且预估甲、乙、丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为$\frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{3}{5}$，所以甲能被招飞院校录取的概率$p_1=\frac{1}{6}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$，乙能被招飞院校录取的概率$p_2=\frac{1}{6}×\frac{3}{5}=\frac{1}{10}$，丙能被招飞院校录取的概率$p_3=\frac{1}{6}×\frac{3}{5}=\frac{1}{10}$。
依题意$X$的可能取值为$0,1,2,3$，
则$P(X = 0)=(1 - \frac{1}{9})×(1 - \frac{1}{10})×(1 - \frac{1}{10})=\frac{18}{25}$，
$P(X = 1)=\frac{1}{9}×(1 - \frac{1}{10})×(1 - \frac{1}{10})+2×(1 - \frac{1}{9})×\frac{1}{10}×(1 - \frac{1}{10})=\frac{1}{4}$，
$P(X = 2)=2×\frac{1}{9}×\frac{1}{10}×(1 - \frac{1}{10})+(1 - \frac{1}{9})×\frac{1}{10}×\frac{1}{10}=\frac{13}{450}$，
$P(X = 3)=\frac{1}{9}×\frac{1}{10}×\frac{1}{10}=\frac{1}{900}$。
则$X$的分布列为
|$X$| 0 | 1 | 2 | 3 |
|----|----|----|----|----|
|$P$|$\frac{18}{25}$|$\frac{1}{4}$|$\frac{13}{450}$|$\frac{1}{900}$|
则$E(X)=0×\frac{18}{25}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{13}{450}+3×\frac{1}{900}=\frac{14}{45}$。