《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

7. 足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取的女性人数是男性人数的 2 倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的 $ \frac{5}{6} $，女性喜爱足球的人数占女性人数的 $ \frac{1}{3} $，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有(B)
附：$ \chi^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)} $，其中 $ n = a + b + c + d $。


A.13 人
B.12 人
C.11 人
D.10 人

答案： 7.B[解析]独立性检验 设被调查的男性有$x$人，则女性有$2x$人，依据题意可得列联表如下：
|性别|喜好|男性|女性|合计|
|----|----|----|----|----|
| |喜爱足球|$\frac{5x}{6}$|$\frac{2x}{3}$|$\frac{3x}{2}$|
| |不喜爱足球|$\frac{x}{6}$|$\frac{4x}{3}$|$\frac{3x}{2}$|
| |合计|$x$|$2x$|$3x$|
$\chi^{2}=\frac{3x(\frac{5x}{6} · \frac{4x}{3}-\frac{2x}{3} · \frac{x}{6})^{2}}{\frac{3x}{2} · \frac{3x}{2} · x · 2x}=\frac{2x}{3}$。因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，所以有$\chi^{2} \geqslant 7.879$（题眼）。即$\frac{2x}{3} \geqslant 7.879$，解得$x \geqslant 11.8185$。又因为上述列联表中的所有数字均为整数，所以$x$的最小值为12。故选B。

8. 下列说法不正确的是（C）

A.一组数据 1，4，14，6，13，10，17，19 的 $ 25\% $ 分位数为 5
B.一组数据 $ m $，3，2，5，7 的中位数为 3，则 $ m $ 的取值范围是 $ (-\infty,3] $
C.若随机变量 $ X \sim B(4,\frac{1}{3}) $，则方差 $ D(3X + 1) = 4 $
D.若随机变量 $ X \sim N(1,\sigma^2) $，且 $ P(0 ＜ X ＜ 1) = 0.4 $，则 $ P(X ＞ 2) = 0.1 $

答案： 8.C[解析]百分位数+中位数+方差+正态分布 对于A，该组数据共8个，且$8 × 25\% = 2$，所以25%分位数为从小到大排列后第2个数和第3个数的平均数，即为$\frac{4 + 6}{2} = 5$，故A正确。对于B，若$m \geqslant 5$，则这组数据由小到大排列为2,3,5,m,7或2,3,5,7,m，中位数为5，不符合题意；若$3 ＜ m ＜ 5$，则这组数据由小到大排列为2,3,m,5,7或2,3,5,7,m，中位数为m ≠ 3，不符合题意；若$m \leqslant 3$，则这组数据由小到大排列为2,m,3,5,7或m,2,3,5,7，中位数为3，故实数m的取值范围是$(-\infty,3]$，故B正确。对于C，若随机变量$X \sim B(4,\frac{1}{3})$，则$D(X)=4 × \frac{1}{3} × (1 - \frac{1}{3})=\frac{8}{9}$，所以$D(3X + 1)=3^{2}D(X)=9 × \frac{8}{9}=8$。故C错误。对于D，若随机变量$X \sim N(1,\sigma^{2})$，且$P(0 ＜ X ＜ 1)=0.4$，则$P(X ＞ 2)=0.5 - P(1 ＜ X ＜ 2)=0.5 - P(0 ＜ X ＜ 1)=0.1$，故D正确。故选C。

9. 自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著。如图是根据一组观测数据得到海拔 6 km～15 km 的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到回归直线方程为 $ y_1 = -4.0x + 68.5 $，决定系数为 $ R_1^2 = 0.99 $；根据非线性回归模型得到回归方程为 $ y_2 = 132.9e^{-0.163x} $，决定系数为 $ R_2^2 = 0.99 $，则下列说法正确的是(ACD)


A.由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B.由方程 $ y_1 = -4.0x + 68.5 $ 可知，海拔每升高 1 km，大气压强必定降低 4.0 kPa
C.由方程 $ y_1 = -4.0x + 68.5 $ 可知，样本点 $ (11,22.6) $ 的残差为 -1.9
D.对比两个回归模型，结合实际情况，方程 $ y_2 = 132.9e^{-0.163x} $ 的预报效果更好

答案： 9.ACD[解析]回归模型的实际应用 对于A，由题知，海拔高度越高，大气压强越小（题眼），所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确；对于B，回归直线得到的数据为估计值（题眼），而非精确值，故B错误；对于C，当$x = 11$时，$\hat{y}_{1} = -4.0 × 11 + 68.5 = 24.5$，又由散点图知观测值为22.6（题眼），所以样本点$(11,22.6)$的残差为$22.6 - 24.5 = -1.9$，故C正确；对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数（题眼），因此方程$y_{2}=132.9e^{-0.163x}$的预报效果更好，故D正确。故选ACD。