《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

11. 新高考数学中的不定项选择题有 4 个不同选项,其错误选项可能有 0 个、1 个或 2 个,这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用,促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求. 若某道数学不定项选择题存在错误选项,且错误选项不能相邻,则符合要求的 4 个不同选项的排列方式共有 (B)

A.24 种
B.36 种
C.48 种
D.60 种

答案： 11.B【解析】排列的实际应用 当仅有1个错误选项时，有$A_{4}^{1}=24$(种)排列方式；当恰有2个错误选项时，先排2个正确选项，再将2个错误选项插入到3个空位中(方法：对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档)，有$A_{2}^{2}A_{3}^{2}=12$(种)排列方式(题眼)，所以共有24+12=36(种)排列方式.故选B.

12. 甲、乙、丙、丁四位师范生分配到 A,B,C 三所学校实习,若每所学校至少分到一人,且甲不去 A 学校实习,则不同的分配方案的种数是 (C)

A.48
B.36
C.24
D.12

答案： 12.C【解析】排列组合+分类加法计数原理 依题，有一所学校需分配2位师范生实习，分配方法为：①甲单独1人分配到一所学校实习，有$C_{3}^{1}· C_{2}^{1}· A_{2}^{2}=12$(种)方法；②甲与另外1人构成两人组分配到同一所学校实习，有$C_{3}^{1}· A_{2}^{2}· A_{2}^{2}=12$(种)方法，$\therefore$不同的分配方案的种数是12+12=24(种).故选C.

13. 某校有 5 名大学生打算前往观看冰球、速滑、花滑三场比赛,每场比赛至少有 1 名学生且至多有 2 名学生前往,则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有 (D)

A.48
B.54
C.72
D.60

答案： 13.D【解析】排列组合的实际应用 由题知，将5名大学生分为1人，2人，2人三组，共有$\frac{C_{5}^{2}C_{3}^{2}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}=15$(种)方法，因为甲不去看冰球比赛，所以甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选.所以有$2A_{2}^{2}=4$(种)方法.所以甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有$4×15=60$(提示：分步乘法计数原理).故选D.

14. 将 5 名志愿者分配到三个社区协助开展活动,每个社区至少 1 名,则不同的分配方法数是 (C)

A.300
B.240
C.150
D.50

答案： 14.C【解析】分配问题+排列组合 5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则三个社区的分配方式分别为1名，1名，3名，或1名，2名，2名，共两种情况(题眼)，先分组有$\frac{C_{5}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{3}}{A_{2}^{2}}+\frac{C_{5}^{1}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=$25(种)情况(提醒：对于“平均分组问题”，分步取后，要除以组数的阶乘，但要注意的是这个组数只是等分的组数)，再将分好组的人员分配到3个社区有$A_{3}^{3}=$6(种)情况，所以不同的分配方法数是$25×6=150$.故选C.

15. 【数学文化】《数术记遗》是《算经十书》中的一部,相传是汉末徐岳所著,该书记述了我国古代 14 种算法,分别是:积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数. 某学习小组有甲、乙、丙、丁四人,该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、珠算 6 种算法的相关资料,要求每种算法只能一人收集,每人至少收集其中一种,则不同的分配方案种数有 (A)

A.1 560 种
B.2 160 种
C.2 640 种
D.4 140 种

答案： 15.A【解析】计数原理+排列组合 根据题意，将6种算法按1,1,1,3的数量分给甲、乙、丙、丁四人，共有$C_{6}^{3}A_{4}^{1}$种方法；将6种算法按1,1,2,2的数量分给甲、乙、丙、丁四人，共有$\frac{C_{6}^{1}· C_{1}^{1}· C_{4}^{2}· C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}· A_{2}^{2}}× A_{4}^{1}$(种)方法(题眼).综上，共有$C_{6}^{3}A_{4}^{1}+\frac{C_{6}^{1}· C_{1}^{1}· C_{4}^{2}· C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}· A_{2}^{2}}× A_{4}^{1}=$1560(种)方法，故选A.

16. 某学校有 6 个数学兴趣小组,每个小组都配备 1 位指导老师,现根据工作需要,学校准备将其中 4 位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组,其余的 2 位指导老师仍在原来的兴趣小组(不作调整),如果调整后每个兴趣小组仍配备 1 位指导老师,则不同的调整方案有 (A)

A.135 种
B.360 种
C.90 种
D.270 种

答案： 16.A【解析】计数原理+组合 根据题意，6个数学兴趣小组有2位指导老师仍在原来的兴趣小组，则不做调整的两个小组有$C_{6}^{2}=15$(种)情况(题眼)，其余的4位指导老师由原来的小组均相应地调整到其他兴趣小组，假设4个小组为1,2,3,4，对应的4位指导老师依次为A,B,C,D,A不能在第1小组，有3种情况，假设A分到第2小组，则B有3种情况，剩下的两人有1种情况，则其余的4个小组有$3×3=9$(种)调整方案(难点：调整的方法种类统计，注意不重不漏)，故有$15×9=135$(种)调整方案，故选A.

17. 【数学文化】“回文”是古今中外都有的一种修辞手法,如“我为人人,人人为我”等. 数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”. “回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如 121,241142 等. 在所有五位正整数中,有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有 (C)

A.100 个
B.125 个
C.225 个
D.250 个

答案： 17.C【解析】排列的应用+分类加法计数原理 依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0，千位与十位数字相同，则求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两种方法：①最多1个0，取奇数字有$A_{5}^{1}$种，取非零的偶数字有$A_{5}^{1}$种，它们排入数位有$A_{2}^{2}$种，取偶数字占百位有$A_{5}^{1}$种，则满足题意的“回文数”共有$A_{5}^{1}A_{5}^{1}A_{2}^{2}A_{5}^{1}=200$(个)；②最少2个0，取奇数字有$A_{5}^{1}$种，且只能占万位和个位，两个0占位有1种，且只能占千位和十位，取偶数字占百位有$A_{5}^{1}$种，则满足题意的“回文数”共有$A_{5}^{1}A_{5}^{1}=25$(个)(难点：分类的标准，要不重不漏).由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有200+25=225(个)(关键：熟悉分类加法计数原理).故选C.

18. 如图,在两行三列的网格中放入标有数字 1,2,3,4,5,6 的六张卡片,每格只放一张卡片,则“只有中间一列两个数字之和为 5”的不同的排法有 (B)


A.96 种
B.64 种
C.32 种
D.16 种

答案： 18.B【解析】分步计数原理+排列 根据题意，分3步进行(关键：弄清是分步还是分类)，第一步，求“只有中间一列两个数字之和为5”(提醒：有特殊要求需先求)，而中间的数字只能为两组数1,4或2,3中的一组，共有$2A_{2}^{2}=4$(种)排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有$A_{4}^{4}A_{2}^{2}=8$(种)排法；第三步，排数字5和6，共有$A_{2}^{2}=2$(种)排法，则由分步计数原理知，不同的排法有$4×8×2=64$(种)，故选B.
方法技巧
解排列组合问题要遵循两个原则 一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).

19. 过去的一年,我国载人航天事业突飞猛进,其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环. 已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试,主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项. 若这五项测试每天进行一项,连续 5 天完成,且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试,超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试,则选拔测试的安排方案有 (B)

A.24 种
B.36 种
C.48 种
D.60 种

答案： 19.B【解析】排列组合的实际应用+分类加法计数原理 分为三类：①若失重飞行安排在第一天，则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有$A_{3}^{3}=$6(种)安排方案，此情况跟失重飞行安排在第五天，则前庭功能安排第四天方案种数相同；②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有$C_{2}^{1}$种选择，超重耐力在第四、第五天有$C_{2}^{1}$种选择，剩下两种测试有$A_{2}^{2}$种选择，则有$C_{2}^{1}C_{2}^{1}A_{2}^{2}=8$(种)安排方案，此情况与失重飞行安排在第四天方案种数相同；③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有$C_{2}^{1}$种选择，超重耐力在第一、第五天有$C_{2}^{1}$种选择，剩下两种测试有$A_{2}^{2}$种选择，则有$C_{2}^{1}C_{2}^{1}A_{2}^{2}=8$(种)排队方案，由分类加法计数原理(题眼)，得选拔测试的安排方案有$6×2+8×2+8=$36(种).故选B.
解题关键
解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”“是排列还是组合”，在应用分类加法计数原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

20. 编号为 1,2,3,4 的四位同学,分别就座于编号为 1,2,3,4 的四个座位上,每个座位恰好坐一位同学,则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为6.

答案： 20.6【解析】组合的实际应用 依题意，四位同学中恰有两位同学的编号与座位编号一致，则剩下两人不一致，故该坐法种数为$C_{4}^{2}=6$.