《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

5. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 $W$ (单位: $g$ )与脉搏率 $f$ (单位:心跳次数 $/min$ ) 的对应数据 $(W_{i},f_{i})(i=1,2,·s ,8)$ ,根据生物学常识和散点图得出 $f$ 与 $W$ 近似满足 $f=cW^{k}$ ( $c,k$ 为参数). 令 $x_{i}=\ln W_{i},y_{i}=\ln f_{i}$ ,计算得 $\overline {x}=8,\overline {y}=5,\sum\limits _{i=1}^{8}y_{i}^{2}=214$ . 由最小二乘法得回归直线方程为 $\hat {y}=\hat {b}x+7.4$ ,则 $k$ 的值为-0.3;为判断拟合效果,通过回归直线方程求得预测值 $\hat {y}_{i}(i=1,2,·s ,8)$ ,若残差平方和 $\sum\limits _{i=1}^{8}(y_{i}-\hat {y}_{i})^{2}\approx 0.28$ ,则决定系数 $R^{2}\approx$0.98 (参考公式:决定系数 $R^{2}=1-\frac {\sum\limits _{i=1}^{n}(y_{i}-\hat {y}_{i})^{2}}{\sum\limits _{i=1}^{n}(y_{i}-\overline {y})^{2}}$ ).

答案： 5.$- 0.3$ $0.98$ [解析]回归直线方程的应用　对$f = cW^{k}$两边取对数可得$\ln f = \ln c + k\ln W$，又$x_{i} = \ln W_{i}$，$y_{i} = \ln f_{i}$，回归直线$\hat{y} = \hat{b}x + 7.4$必过样本点的中心$(\bar{x},\bar{y})$，即$5 = 8\hat{b} + 7.4$，解得$\hat{b} = - 0.3$，所以$k = - 0.3$。
$R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{8}(y_{i} - \hat{y}_{i})^{2}}{\sum_{i = 1}^{8}(y_{i} - \bar{y})^{2}} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{8}(y_{i} - \hat{y}_{i})^{2}}{\sum_{i = 1}^{8}y_{i}^{2} - 8\bar{y}^{2}} \approx 1 - \frac{0.28}{214 - 8 × 5^{2}} = 0.98$。

6. 人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种,树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联,采用简单随机抽样的方法抽取 $90$ 名学生,得到如下数据:

(1)以上述统计结果的频率估计概率,从该校男生中随机抽取 $2$ 人、女生中随机抽取 $1$ 人担任志愿者. 设这三人中性格外向型的人数为 $X$ ,求 $X$ 的数学期望.
(2)对表格中的数据,依据 $\alpha =0.1$ 的独立性检验,可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联. 如果将表格中的所有数据都扩大为原来的 $10$ 倍,在相同的检验标准下,再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性,得到的结论是否一致? 请说明理由.

附: $\chi ^{2}=\frac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ,其中 $n=a+b+c+d$ .

答案： 6.用频率估计概率+数学期望+独立性检验
解：
(1)解法一：由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为$\frac{3}{4}$，外向型女生在所有女生中占比为$\frac{2}{3}$，故从该校男生中随机抽取$1$人为外向型男生的概率是$\frac{3}{4}$，从该校女生中随机抽取$1$人为外向型女生的概率是$\frac{2}{3}$。
则$X$的所有可能取值为$0$，$1$，$2$，$3$。
$P(X = 0) = (\frac{1}{4})^2 × \frac{1}{3} = \frac{1}{48}$
$P(X = 1) = C_{2}^{1} × \frac{3}{4} × \frac{1}{4} × \frac{1}{3} + (\frac{1}{4})^2 × \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$
$P(X = 2) = (\frac{3}{4})^2 × \frac{1}{3} + C_{2}^{1} × \frac{3}{4} × \frac{1}{4} × \frac{2}{3} = \frac{7}{16}$
$P(X = 3) = (\frac{3}{4})^2 × \frac{2}{3} = \frac{3}{8}$
所以$E(X) = 0 × \frac{1}{48} + 1 × \frac{1}{6} + 2 × \frac{7}{16} + 3 × \frac{3}{8} = \frac{13}{6}$。
解法二：由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为$\frac{3}{4}$，外向型女生在所有女生中占比为$\frac{2}{3}$，故从该校男生中随机抽取$1$人为外向型男生的概率是$\frac{3}{4}$，从该校女生中随机抽取$1$人为外向型女生的概率是$\frac{2}{3}$。
从该校男生中随机抽取$2$人，抽到性格外向型的人数记为$Y_{1}$；从该校女生中随机抽取$1$人，抽到性格外向型的人数记为$Y_{2}$，则$Y_{1} \sim B(2,\frac{3}{4})$，$Y_{2} \sim B(1,\frac{2}{3})$。
所以$E(Y_{1}) = 2 × \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$，$E(Y_{2}) = 1 × \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$。
所以$E(X) = E(Y_{1} + Y_{2}) = E(Y_{1}) + E(Y_{2}) = \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{13}{6}$。
(2)零假设为$H_{0}$：这两种性格特征与人的性别无关联。
由所获得的所有数据都扩大为原来$10$倍，可知$\chi^{2} = \frac{900 × (450 × 100 - 150 × 200)^{2}}{600 × 300 × 650 × 250} \approx 6.923 ＞ 2.706 = x_{0.1}$，依据$\alpha = 0.1$的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，原因是每个数据扩大为原来的$10$倍，相当于样本量变大为原来的$10$倍，导致推断结论发生了变化。