《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知随机变量$\xi$的分布列如表,则$\xi$的标准差为(D)


A.3.56
B.$\sqrt{3.2}$
C.3.2
D.$\sqrt{3.56}$

答案： 1.D【解析】随机变量的分布列与标准差 由分布列的性质，可得$0.4+0.1+x=1$，解得$x=0.5$，$\therefore E(\xi)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2$。$\therefore D(\xi)=(1 - 3.2)^2×0.4+(3 - 3.2)^2×0.1+(5 - 3.2)^2×0.5=3.56$。$\therefore \xi$的标准差为$\sqrt{D(\xi)}=\sqrt{3.56}$。故选D。

2. 随机变量$X$的分布列如表,其中$a,b,c$成等差数列,若$P(X\geq0)=\frac{5}{6}$,则$E(X)=$(C)


A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1

答案： 2.C【解析】离散型随机变量的分布列+等差数列的性质 由题意可知，$\begin{cases}2b=a+c\\a+b+c=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{6}\\b=\frac{1}{3}\end{cases}$，$b + c=\frac{5}{6}$，$\begin{cases}c=\frac{1}{2}\end{cases}$，$E(X)=(-2)×\frac{1}{6}+0×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$。故选C。

3. 离散型随机变量$X$的分布列如表:

若离散型随机变量$Y$满足$Y = 2X + 1$,则(ABD)

A.$m = 0.4$
B.$E(X)=2,D(X)=1.2$
C.$E(Y)=3,D(Y)=3.4$
D.$E(Y)=5,D(Y)=4.8$

答案： 3.ABD【解析】离散型随机变量的分布列+期望+方差 由离散型随机变量的分布列性质可得$m = 1 - 0.1 - 0.2 - 0.2 - 0.1 = 0.4$，故A正确；$E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1 = 2$，$D(X)=(0 - 2)^2×0.1+(1 - 2)^2×0.2+(2 - 2)^2×0.4+(3 - 2)^2×0.2+(4 - 2)^2×0.1 = 1.2$，故B正确；由于$Y = 2X + 1$，故$E(Y)=2E(X)+1 = 5$，$D(Y)=4D(X)=4.8$，故C错误，D正确。故选ABD。

4. 已知离散型随机变量$X$的分布列为

则下列说法正确的是(BC)

A.$t = 1$或$-\frac{1}{2}$
B.$E(X)=\frac{1}{8}$
C.$D(X)=\frac{55}{64}$
D.$D(8X + 9)=64$

答案： 4.BC【解析】离散型随机变量的分布列+离散型随机变量的数学期望与方差+离散型随机变量的方差的性质 由题意可知$\frac{3}{8}+(2t^2-\frac{3}{2}t-\frac{3}{8})+\frac{t}{2}=1$，即$2t^2 - t - 1 = 0$(题眼)(提示：离散性随机变量的分布列的性质，即概率之和等于1)，解得$t = 1$或$t = -\frac{1}{2}$。又$\frac{t}{2}\geq0$，即$t\geq0$(易错：注意概率的取值范围为$[0,1]$)，所以$t = 1$。故A不正确；因为$E(X)=(-1)×\frac{3}{8}+0×(2t^2-\frac{3}{2}t-\frac{3}{8})+1×\frac{t}{2}=-\frac{3}{8}+\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，故B正确；因为$D(X)=(-1-\frac{1}{8})^2×\frac{3}{8}+(0-\frac{1}{8})^2×(2t^2-\frac{3}{2}t-\frac{3}{8})+(1-\frac{1}{8})^2×\frac{1}{2}=\frac{55}{64}$，故C正确；$D(8X + 9)=8^2D(X)=64×\frac{55}{64}=55$(提示：方差的性质$D(aX + b)=a^2D(X)$)，故D不正确。故选BC。

5. 盒中有标记数字$1,2,3,4$的小球各$2$个,随机一次取出$3$个小球.
(1)求取出的$3$个小球上的数字两两不同的概率.
(2)记取出的$3$个小球上的最小数字为$X$,求$X$的分布列及数学期望$E(X)$.

答案： 5.古典概型+离散型随机变量的分布列及数学期望
解：
(1)所求概率为$\frac{C_4^3×2^3}{C_8^3}=\frac{4}{7}$。
(2)$X$所有可能取值为$1,2,3$(题眼)，且
$P(X = 1)=\frac{C_2^2C_6^1+C_2^1C_6^2}{C_8^3}=\frac{9}{14}$(提示：当$X = 1$时，分为两种情况：只有一个数字为$1$的小球和有两个数字为$1$的小球)。
$P(X = 2)=\frac{C_2^2C_6^1+C_2^1C_6^2}{C_8^3}=\frac{2}{7}$(提示：当$X = 2$时，分为两种情况：只有一个数字为$2$的小球、有两个数字为$2$的小球)。
$P(X = 3)=\frac{C_2^2C_6^1+C_2^1C_6^2}{C_8^3}=\frac{1}{14}$(提示：当$X = 3$时，分为两种情况：只有一个数字为$3$的小球和有两个数字为$3$的小球)。
故$X$的分布列为
|$X$| 1 | 2 | 3 |
|----|----|----|----|
|$P$|$\frac{9}{14}$|$\frac{2}{7}$|$\frac{1}{14}$|
$X$的数学期望$E(X)=1×\frac{9}{14}+2×\frac{2}{7}+3×\frac{1}{14}=\frac{10}{7}$。