《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

18. （17分）有A，B，C，D，E，F，G，H八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛、半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军。八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知B～H这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为$\frac{1}{2}$，A运动员与其他运动员对决时，A获胜的概率为$\frac{2}{3}$，每场对决没有平局，且结果相互独立。

（1）求这八名运动员各自获得冠军的概率。
（2）求B与A对决过且最后获得冠军的概率。
（3）求B与C对决过且最后获得冠军的概率。

答案： 18.相互独立事件的概率公式+对立事件的概率公式+全概率公式
解：
(1)第1步：利用相互独立事件的概率公式求A夺冠的概率
A夺冠即为三轮比赛都获胜，所以A夺冠的概率为$(\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}$（题眼）.
第2步：利用对立事件的概率公式求其他运动员夺冠的概率
由题意得，B~H这七名运动员水平相同，且八名运动员各自夺冠概率之和为1.
所以B~H这七名运动员各自夺冠的概率均为$\frac{1}{7}×(1-\frac{8}{27})=\frac{19}{189}$.（4分）
(2)第1步：表示出相应事件
记事件B=“B获得冠军”，事件A=“B与A对决过”，事件$A_i$=“B与A在第i轮对决”，$i=1,2,3$.（5分）
不妨设A在①号位，则B在第1,2,3轮能与A对决时其位置编号分别为②,③④,⑤⑥⑦⑧.
故$P(AB)=P((A_1+A_2+A_3)B)=P(A_1B)+P(A_2B)+P(A_3B)$（题眼）.（6分）
第2步：利用相互独立事件的概率公式计算各类事件发生的概率
$P(A_1B)=\frac{1}{7}×(1-\frac{2}{3})×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{84}$，$P(A_2B)=\frac{2}{7}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×(1-\frac{2}{3})×\frac{1}{2}=\frac{1}{63}$，$P(A_3B)=\frac{4}{7}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×(1-\frac{2}{3})=\frac{4}{189}$.（9分）
第3步：利用互斥事件的概率加法公式计算求值
所以$P(AB)=\frac{1}{84}+\frac{1}{63}+\frac{4}{189}=\frac{37}{756}$.（10分）
(3)第1步：计算相应事件的概率
记事件C=“B与C对决过”.
由
(2)可得B没有与A对决过且最后获得冠军的概率$P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)=\frac{19}{189}-\frac{37}{756}=\frac{13}{252}$.
$P(BC)=P((A+\overline{A})BC)=P(ABC)+P(\overline{A}BC)=P(AB)P(C|AB)+P(\overline{A}B)P(C|\overline{A}B)$.（14分）
由题意得，C~H这六名运动员与B对决过的概率相同，若B夺冠，则其共与三名运动员对决过，所以$P(C|AB)\rightarrow\frac{2}{6}$，$P(C|\overline{A}B)=\frac{3}{6}$.（16分）
第2步：利用全概率公式计算
代入得$P(BC)=\frac{37}{756}×\frac{2}{6}+\frac{13}{252}×\frac{3}{6}=\frac{191}{4536}$.（17分）