《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

19. 阅读下面的材料，解决问题：
解方程$x^{4}-5x^{2}+4=0$，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常如下：
设$x^{2}=y$，则$x^{4}=y^{2}$.
原方程可变为$y^{2}-5y + 4=0$，解得$y_{1}=1,y_{2}=4$.
当$y = 1$时，$x^{2}=1$，$\therefore x = 1$或$x = - 1$.
当$y = 4$时，$x^{2}=4$，$\therefore x = 2$或$x = - 2$.
$\therefore$原方程有四个根，为$x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=2,x_{4}=-2$.
请利用上面的方法解方程：$(x^{2}+x)^{2}-4(x^{2}+x)-12=0$.

答案： 19.设$x^2+x=y，$原方程可变为$y^2-4y-12=0，$解得
$y_1=6,y_2=-2.$当y=6时，$x^2+x=6，$得$x_1=-3,x_2=$
2.当y=-2时，$x^2+x=-2，$得方程$x^2+x+2=0.$
∵$Δ=b^2-4ac=1^2-4×1×2=-7＜0，$此时方程无
根，
∴原方程有两个根：$x_1=-3,x_2=2$

20. （2022·宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大. 该造纸厂$3$月和$4$月共生产再生纸$800$吨，其中$4$月再生纸的产量比$3$月的$2$倍少$100$吨.
（1）求$4$月再生纸的产量.
（2）若$4$月每吨再生纸的利润为$1000$元，$5$月再生纸的产量比上月增加$m\%$，$5$月每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$，则$5$月再生纸项目的月利润达到$66$万元. 求$m$的值.
（3）若$4$月每吨再生纸的利润为$1200$元，$4$月至$6$月每吨再生纸利润的月平均增长率与$6$月再生纸产量比上月增长的百分数相同，$6$月再生纸项目的月利润比上月增加了$25\%$. 求$6$月每吨再生纸的利润.

答案： 20.
(1)设3月再生纸的产量为x吨，则4月再生纸的
产量为(2x-100)吨.由题意，得x+(2x-100)=800，解得
x=300.
∴2x-100=500.
∴4月再生纸的产量为500吨
(2)66万元=660000元.由题意，得500(1+m%)·
$1000(1+\frac{m}{2}％)=660000，$解得m=20或m=-320(不
合题意，舍去).
∴m=20
(3)设4月至6月每吨再生纸
利润的月平均增长率为y，5月再生纸的产量为a吨.由题
意，得$1200(1+y)^2·a(1+y)=(1+25%)×1200(1+$
y)·a，
∴$1200(1+y)^2=1500.$
∴6月每吨再生纸的利
润是1500元

21. 已知$\triangle ABC$的两边$AB,AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}+3k + 2=0$的两个实数根，第三边$BC$的长为$5$.
（1）当$k$为何值时，$\triangle ABC$是直角三角形？
（2）当$k$为何值时，$\triangle ABC$是等腰三角形？请求出此时$\triangle ABC$的周长.

答案： 21.
(1)解方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0，$得$x_1=$
$k+1,x_2=k+2.$
∵k+1＜k+2，
∴△ABC是直角三角
形时，斜边长不可能是k+1.①如果$(k+1)^2+5^2=(k+$
$2)^2，$且k+2＞5，那么△ABC是直角三角形，解得k=11，
符合题意;②如果$(k+1)^2+(k+2)^2=5^2，$且k+2＜5，那
么△ABC是直角三角形，解得k=2(负值舍去)，符合题
意.综上所述，当k为11或2时，△ABC是直角三角
形
(2)
∵△ABC是等腰三角形，
∴当AB=AC时，
$Δ=b^2-4ac=0.$
∴$(2k+3)^2-4(k^2+3k+2)=0，$此时k
不存在.当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，
$5AC=k^2+3k+2，$解得k=3或4.
∴AC=4或6.当
BC=AC时，即AC=5，同理求得AB=4或6.
∴△ABC
的周长为14或16