《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

15. 解下列方程：
（1）$5x(x + 6)=2(x + 6)$；
（2）$(3x - 2)^{2}=4(3 - x)^{2}$；
（3）$x^{2}-3x - 1=0$；
（4）$x^{2}-3x=(2 - x)(x - 3)$.

答案： $15.(1)x_1=\frac{2}{5},x_2=-6 (2)x_1=\frac{8}{5},x_2=$
$-4 (3)x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2} (4)x_1=3,x_2=1$

16. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x - k=0$的两根为$a,b(a≠b)$. 求$\frac{a}{a + 1}-\frac{1}{b + 1}$的值.

答案： 16.
∵方程有两个不等的实数根，
∴Δ=4+4k＞0，解得
k＞-1.由根与系数的关系，得a+b=-2，ab=-k，
∴原式$=\frac{a(b+1)}{(a+1)(b+1)}=\frac{a+1}{(a+1)(b+1)}\frac{ab+a-a-1}{ab+a+b+1}=$
$\frac{ab-1}{ab+a+b+1}=\frac{-k-1}{-k-2+1}=\frac{-k-1}{-k-1}$
∵k＞-1，
∴-k-
1≠0.
∴原式=1

17. （2022·南充）已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+3x + k - 2=0$有实数根.
（1）求实数$k$的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$，若$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1$，求$k$的值.

答案： 17.
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^2+3x+k-2=0$有
实数根，
∴$3^2-4(k-2)≥0，$解得$k≤\frac{17}{4} (2)$
∵方程的两个实数根分别为$x_1,x_2，$
∴$x_1+x_2=k-2.$
∵$(x_1+1)(x_2+1)=-1，$
∴$x_1x_2+x_1+x_2+1=-1.$
∴k-2-3+1=-1，解得k=3

18. （2022·十堰）已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x - 3m^{2}=0$.
（1）求证：该方程总有两个不等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为$\alpha,\beta$，且$\alpha + 2\beta=5$，求$m$的值.

答案： 18.
(1)
∵$b^2-4ac=(-2)^2-4×1·(-3m^2)=4+12m^2＞$
0，
∴该方程总有两个不等的实数根
(2)由根与系数的
关系，可知α+β=2，$αβ=-3m^2.$
∵α+2β=5，
∴α=5-
2β.
∴5-2β+β=2，解得β=3.
∴α=-1.
∴$-3m^2=$
-1×3=-3，解得m=±1