《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

10. 某宾馆有若干间标准房，当每间标准房的价格为 $ 200 $ 元时，每天入住的房间数量为 $ 60 $ 间。经市

场

调查发现，该宾馆每间标准房的价格在 $ 170 \sim 240 $ 元之间（含 $ 170 $ 元、$ 240 $ 元）浮动时，每天入住的房间数量 $ y $（间）与每间标准房的价格 $ x $（元）的部分数据如下表：

（1）根据所给数据在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并画出图象。
（2）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围。
（3）设宾馆的日营业额为 $ w $ 元。若不考虑其他因素，当宾馆每间标准房的价格定为多少元时，日营业额最大？最大为多少元？

答案：
10.
(1)如图所示
(2)设$y = kx + b$。
将点$(200,60)$，$(220,50)$代入，得$\begin{cases}200k + b = 60\\220k + b = 50\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2}\\b = 160\end{cases}$。
$\therefore y = -\frac{1}{2}x + 160$（$170\leq x\leq240$）。
(3)由题意，得$w = xy=x(-\frac{1}{2}x + 160)=-\frac{1}{2}x^{2}+160x=-\frac{1}{2}(x - 160)^{2}+12800$。
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = 160$。
$\because-\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$在$170\leq x\leq240$的范围内，$w$随$x$的增大而减小。
$\therefore$当$x = 170$时，$w$有最大值，最大值为$12750$。
$\therefore$当宾馆每间标准房的价格定为$170$元时，日营业额最大，最大为$12750$元。

11. 如图，二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(1, 0) $ 和点 $ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C(0, 3) $，抛物线的对称轴与 $ x $ 轴交于点 $ D $。
（1）求二次函数的解析式。
（2）在 $ y $ 轴上是否存在一点 $ P $，使 $ \triangle PBC $ 为等腰三角形？若存在，请求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）有一个动点 $ M $ 从点 $ A $ 出发，以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度在 $ AB $ 上向点 $ B $ 运动，同时另一个点 $ N $ 从点 $ D $ 出发，以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度在抛物线的对称轴上沿某一方向运动，当点 $ M $ 到达点 $ B $ 时，点 $ M $，$ N $ 同时停止运动。当点 $ M $，$ N $ 运动到何处时，$ \triangle MNB $ 的面积最大？试求出最大面积。

答案：
11.
(1)把$A(1,0)$和$C(0,3)$代入$y = x^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}1 + b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - 4\\c = 3\end{cases}$。
$\therefore$二次函数的解析式为$y = x^{2}-4x + 3$。
(2)存在。
令$y = 0$，则$x^{2}-4x + 3 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
$\therefore$点$B$的坐标为$(3,0)$。
$\therefore BC = 3\sqrt{2}$。
当$\triangle PBC$为等腰三角形时，如图①，分三种情况讨论：
①当$CP = CB$时，$PC = 3\sqrt{2}$，$\therefore OP = OC + PC = 3 + 3\sqrt{2}$或$OP = PC - OC = 3\sqrt{2}-3$。
$\therefore P_1(0,3 + 3\sqrt{2})$，$P_2(0,3 - 3\sqrt{2})$。
②当$BP = BC$时，$OP = OC = 3$，$\therefore P_3(0,-3)$。
③当$PB = PC$时，$\because OC = OB = 3$，$\therefore$此时点$P$与点$O$重合，$\therefore P_4(0,0)$。
综上所述，点$P$的坐标为$(0,3 + 3\sqrt{2})$或$(0,3 - 3\sqrt{2})$或$(0,-3)$或$(0,0)$。
(3)如图②，设运动时间为$t$ s。
由
(2)，得$AB = 2$，$\therefore BM = 2 - t$，$DN = 2t$。
$\therefore S_{\triangle MNB}=\frac{1}{2}×(2 - t)×2t=-t^{2}+2t=-(t - 1)^{2}+1$。
$\therefore$当$t = 1$，即点$M$的坐标为$(2,0)$，点$N$的坐标为$(2,2)$或$(2,-2)$时，$\triangle MNB$的面积最大，最大面积为$1$。