《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

12. （2023·宁波）如图，二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图象经过点$A(1,-2)$，$B(0,-5)$.
（1）求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标；
（2）当$y\leqslant -2$时，请根据图象直接写出$x$的取值范围.

答案： 12.
(1)
∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A(1,−2),B(0,−5),
∴$\begin{cases}1+b+c=-2,\\c=-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=-5.\end{cases}$
∴二次函数的解析式为y=x²+2x−5=(x+1)²−6.
∴二次函数图象的顶点坐标为(−1,−6)
(2)−3≤x≤1

13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = x^{2}-2x - 3$与$x$轴相交于点$A$，$B$（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴相交于点$C$，连接$AC$，$BC$.
（1）求线段$AC$的长；
（2）若$P$为该抛物线对称轴上的一个动点，当$PA = PC$时，求点$P$的坐标；
（3）若$M$为该抛物线上的一个动点，当$\triangle BCM$为直角三角形时，求点$M$的坐标.

答案： 13.
(1)在y=x²−2x−3中，令y=0,则x²−2x−3=0,解得x₁=−1,x₂=3.
∴A(−1,0),B(3,0).令x=0,则y=−3.
∴C(0,−3).
∴AO=1,CO=3.
∴在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC=$\sqrt{AO²+CO²}$=$\sqrt{10}$
(2)易得抛物线y=x²−2x−3的对称轴为直线x=1,可设P(1,t).
∴PA²=(1+1)²+(t−0)²=4+t²,PC²=(1−0)²+(t+3)²=1+(t+3)².
∵PA=PC,
∴PA²=PC²,即4+t²=1+(t+3)²,解得t=−1.
∴P(1,−1)
(3)设M(m,m²−2m−3),则易得BM²=(m−3)²+(m²−2m−3−0)²=(m−3)²+(m²−2m−3)²,CM²=(m−0)²+(m²−2m−3+3)²=m²+(m²−2m)²,BC²=(3−0)²+(0+3)²=18.
①当∠BCM=90°,即CM²+BC²=BM²时,m²+(m²−2m)²+18=(m−3)²+(m²−2m−3)²,解得m₁=0(不合题意，舍去),m₂=1.
∴M(1,−4).
②当∠CBM=90°,即BM²+BC²=CM²时,(m−3)²+(m²−2m−3)²+18=m²+(m²−2m)²,解得m₁=−2,m₂=3(不合题意，舍去).
∴M(−2,5).
③当∠BMC=90°,即BM²+CM²=BC²时,(m−3)²+(m²−2m−3)²+m²+(m²−2m)²=18,解得m₁=0(不合题意，舍去),m₂=3(不合题意，舍去),m₃=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,m₄=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
∴M($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,$-\frac{5+\sqrt{5}}{2}$)或M($\frac{1-\sqrt{5}}{2}$,$-\frac{5-\sqrt{5}}{2}$).
综上所述，满足条件的点M的坐标为(1,−4)或(−2,5)或($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,$-\frac{5+\sqrt{5}}{2}$)或($\frac{1-\sqrt{5}}{2}$,$-\frac{5-\sqrt{5}}{2}$)