《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

9. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，$Rt\triangle ABC$三个顶点的坐标分别为$A(-2,2)$，$B(0,5)$，$C(0,2)$。
（1）将$\triangle ABC$以点$C$为旋转中心旋转$180^{\circ}$得到$\triangle A_1B_1C$，请画出$\triangle A_1B_1C$；
（2）平移$\triangle ABC$，使点$A$的对应点$A_2$的坐标为$(-2,-6)$，请画出平移后的$\triangle A_2B_2C_2$；
（3）若将$\triangle A_1B_1C$绕某一点旋转$180^{\circ}$可得到$\triangle A_2B_2C_2$，请直接写出旋转中心的坐标。
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答案：
9.
(1)如图，△A₁B₁C即为所求作　
(2)如图，△A₂B₂C₂ 即为所求作　
(3)(0,-2)
　　　　　　

10. 如图，点$O$是$□ ABCD$的对称中心，将直线$DB$绕点$O$按顺时针方向旋转，分别交$DC$，$AB$于点$E$，$F$。
（1）求证：$\triangle DEO\cong\triangle BFO$。
（2）若$DB = 2$，$AD = 1$，$AB = \sqrt{5}$，当$DB$绕点$O$按顺时针方向旋转$45^{\circ}$时，连接$AE$，$CF$。判断四边形$AECF$的形状，并说明理由。

答案： 10.
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB.
∴∠CDO=∠ABO,∠DEO=∠BFO.又
∵点O是▱ABCD的对称中心，
∴OD=OB.
∴△DEO≌△BFO　
(2)四边形AECF是菱形　理由:
∵在△ABD 中,DB=2,AD=1,AB=$\sqrt{5}$,
∴DB²+AD²=AB².
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.
∵OD=OB=$\frac{1}{2}$DB=1,
∴AD=OD.
∴△OAD是等腰直角三角形.
∴∠AOD=45°.当直线DB绕点O按顺时针方向旋转45°时,即∠DOE=45°,
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°.
∵△DEO≌△BFO,
∴OE=OF.又
∵点O是▱ABCD的对称中心，
∴OA=OC.
∴四边形AECF是平行四边形.又
∵∠AOE=90°,
∴EF⊥AC.
∴四边形AECF是菱形.

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = 5$，$AB = 3$，$BC$边上的中线$AD = 2$，则$\triangle ABC$的面积为6。

答案： 6

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$D$为$BC$的中点，$DE\perp DF$，$DE$交$AB$于点$E$，$DF$交$AC$于点$F$。试探索$BE$，$EF$，$FC$之间的数量关系，并证明你的结论。

答案： 12.FC²+BE²=EF²
∵D为BC的中点，
∴BD=CD.作△BDE关于点D中心对称的△CDM.由中心对称的性质，可得△CDM≌△BDE.
∴CM=BE,MD=ED,∠DCM=∠B.又
∵∠A=90°,
∴∠B+∠ACB=90°.
∴∠DCM+∠ACB=90°,即∠FCM=90°.连接FM.
∵在△FME中,MD=ED,FD⊥ME,
∴FD垂直平分ME.
∴FM=EF.
∵在Rt△FCM中,FC²+CM²=FM²,
∴FC²+BE²=EF²