《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

16. （2023·崇川三模）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC.
（1）求证：∠AOC=2∠PAC；
（2）连接OB，若AC//OB，⊙O的半径为5，AC=6，求AP的长.

答案：
16.
(1)如图，过点$O$作$OH\perp AC$于点$H$。
∴$\angle OHA = 90^{\circ}$。
∴$\angle AOH + \angle OAC = 90^{\circ}$。
∵$PA$是⊙$O$的切线，
∴$\angle OAP = 90^{\circ}$。
∴$\angle OAC + \angle PAC = 90^{\circ}$。
∴$\angle AOH = \angle PAC$。
∵$OA = OC$，
∴$\angle AOC = 2\angle AOH$。
∴$\angle AOC = 2\angle PAC$。
(2)如图，延长$AC$交$PB$于点$E$。
∵$PA$，$PB$是⊙$O$的切线，
∴$OB\perp PB$，$PA = PB$。
∵$AC// OB$，
∴$AC\perp PB$。
∴四边形$OBEH$是矩形。
∴$OH = BE$，$HE = OB = 5$。
∵$OH\perp AC$，$OA = OC$，
∴$AH = CH = \frac{1}{2}AC = 3$。
∴$OH = \sqrt{OC^{2} - CH^{2}} = 4$。
∴$BE = OH = 4$，$AE = AH + HE = 8$。在$Rt\triangle PAE$中，$AP^{2} = AE^{2} + PE^{2}$，
∴$AP^{2} = 8^{2} + (AP - 4)^{2}$。
∴$AP = 10$。
　　

17. （2023·如皋一模）如图，⊙O的直径AB=8，C为⊙O上一点，在AB的延长线上取一点P，连接PC交⊙O于点D，PO=4√{3}，∠OPC=30°.求：
（1）CD的长；
（2）涂色部分的面积.

答案：
17.
(1)如图，过点$O$作$OE\perp CD$于点$E$，连接$OC$，$OD$。
∴$CE = DE$。
∵$PO = 4\sqrt{3}$，$\angle OPC = 30^{\circ}$，
∴$OE = \frac{1}{2}PO = 2\sqrt{3}$。
∵$AB = 8$，
∴$OD = 4$。
∴$DE = \sqrt{OD^{2} - OE^{2}} = \sqrt{4^{2} - (2\sqrt{3})^{2}} = 2$。
∴$CD = 2DE = 4$。
(2)
∵$OD = 2DE$，
∴$\angle DOE = 30^{\circ}$。
∴$\angle COD = 60^{\circ}$。
∴涂色部分的面积为$\frac{60π×4^{2}}{360} - \frac{1}{2}×4×2\sqrt{3} = \frac{8π}{3} - 4\sqrt{3}$。
　　　

18. （2023·大连）如图①，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线，交⊙O于点D，连接OD交BC于点E.
（1）求∠BED的度数.
（2）如图②，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点F，过点D作DG//AF，交AB于点G.若AD=2√{35}，DE=4，求DG的长.

答案：
18.
(1)
∵$AB$是⊙$O$的直径，
∴$\angle ACB = 90^{\circ}$。
∵$AD$平分$\angle CAB$，
∴$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$，即$\angle BAC = 2\angle BAD$。
∵$\angle BOD = 2\angle BAD$，
∴$\angle BOD = \angle BAC$。
∴$OD// AC$。
∴$\angle OEB = \angle ACB = 90^{\circ}$。
∴$\angle BED = 90^{\circ}$。
(2)如图，连接$BD$。设$OA = OB = OD = r$，则$OE = r - 4$，$AB = 2r$。
∵$AB$是⊙$O$的直径，
∴$\angle ADB = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle ADB$中，由勾股定理，得$BD^{2} = AB^{2} - AD^{2}$。由
(1)，得$\angle BED = 90^{\circ}$。由勾股定理，得$BE^{2} = OB^{2} - OE^{2} = BD^{2} - DE^{2}$，
∴$BD^{2} = AB^{2} - AD^{2} = BE^{2} + DE^{2} = OB^{2} - OE^{2} + DE^{2}$。
∴$(2r)^{2} - (2\sqrt{35})^{2} = r^{2} - (r - 4)^{2} + 4^{2}$。整理，得$r^{2} - 2r - 35 = 0$，解得$r = 7$或$r = -5$(不合题意，舍去)。
∴$AB = 2r = 14$。
∴$BD = \sqrt{AB^{2} - AD^{2}} = \sqrt{14^{2} - (2\sqrt{35})^{2}} = 2\sqrt{14}$。
∵$AF$是⊙$O$的切线，
∴$AF\perp AB$。
∵$DG// AF$，
∴$DG\perp AB$。
∴$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AD· BD = \frac{1}{2}AB· DG$。
∴$DG = \frac{AD· BD}{AB} = \frac{2\sqrt{35}×2\sqrt{14}}{14} = 2\sqrt{10}$。