《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

7. 某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨 $ \frac{1}{3} $。据统计，淡季该公司平均每天有 $ 10 $ 辆货车未租出，日租金总收入为 $ 1500 $ 元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为 $ 4000 $ 元。
（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金为多少元？
（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨 $ 20 $ 元，每天租出去的货车就会减少 $ 1 $ 辆，不考虑其他因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？

答案： 7.
(1)设该出租公司这批对外出租的货车共有$x$辆。
根据题意，得$\frac{1500}{x - 10}·(1+\frac{1}{3})=\frac{4000}{x}$，解得$x = 20$。
经检验，$x = 20$是分式方程的解，且符合题意。
$\therefore1500÷(20 - 10)=150$（元）。
$\therefore$该出租公司这批对外出租的货车共有$20$辆，淡季每辆货车的日租金为$150$元。
(2)设每辆货车的日租金上涨$a$元，该出租公司的日租金总收入为$W$元。
根据题意，得$W=[a + 150×(1+\frac{1}{3})]·(20-\frac{a}{20})=-\frac{1}{20}a^{2}+10a + 4000=-\frac{1}{20}(a - 100)^{2}+4500$。
$\because-\frac{1}{20}＜0$，$\therefore$当$a = 100$时，$W$有最大值。
$\therefore$每辆货车的日租金上涨$100$元时，该出租公司的日租金总收入最高。

8. （珠海中考）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗。市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜 $ 10 $ 元，某商家用 $ 8000 $ 元购进的猪肉粽和用 $ 6000 $ 元购进的豆沙粽盒数相同。在销售的过程中，该商家发现猪肉粽每盒的售价为 $ 50 $ 元时，每天可售出 $ 100 $ 盒；每盒的售价每提高 $ 1 $ 元，每天少售出 $ 2 $ 盒。
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒的售价为 $ x $ 元（$ 50 \leq x \leq 65 $），该商家每天销售猪肉粽的利润为 $ y $ 元，求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式及最大利润。

答案： 8.
(1)设猪肉粽每盒的进价为$a$元，则豆沙粽每盒的进价为$(a - 10)$元。
根据题意，得$\frac{8000}{a}=\frac{6000}{a - 10}$，解得$a = 40$。
经检验，$a = 40$是分式方程的解，且符合题意，此时$a - 10 = 30$。
$\therefore$猪肉粽每盒的进价为$40$元，豆沙粽每盒的进价为$30$元。
(2)当猪肉粽每盒的售价为$x$元（$50\leq x\leq65$）时，每天可售出$[100 - 2(x - 50)]$盒。
$\therefore y=(x - 40)[100 - 2(x - 50)]=-2x^{2}+280x - 8000=-2(x - 70)^{2}+1800$。
$\because - 2＜0$，$\therefore$当$x＜70$时，$y$随$x$的增大而增大。
$\therefore$当$x = 65$时，$y$取最大值，最大值为$-2×(65 - 70)^{2}+1800 = 1750$。
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=-2x^{2}+280x - 8000$（$50\leq x\leq65$），且最大利润为$1750$元。

9. （锦州中考）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为 $ 6.2 $ 万元/吨，加工过程中原料的质量有 $ 20\% $ 的损耗，加工费 $ m $（万元）与原料的质量 $ x $（吨）之间的关系为 $ m = 50 + 0.2x $，销售价 $ y $（万元/吨）与原料的质量 $ x $（吨）之间的关系如图所示。
（1）求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式。
（2）设销售收入为 $ P $ 万元，求 $ P $ 与 $ x $ 之间的函数解析式。
（3）当原料的质量为多少吨时，所获销售利润最大？最大销售利润是多少万元（销售利润 $ = $ 销售收入 $ - $ 总支出）？

答案： 9.
(1)设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b$。
将$(20,15)$，$(30,12.5)$代入，得$\begin{cases}20k + b = 15\\30k + b = 12.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{4}\\b = 20\end{cases}$。
$\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y = -\frac{1}{4}x + 20$。
(2)$P=(1 - 20\%)xy=\frac{4}{5}x(-\frac{1}{4}x + 20)=-\frac{1}{5}x^{2}+16x$，
$\therefore P$与$x$之间的函数解析式为$P = -\frac{1}{5}x^{2}+16x$。
(3)设销售利润为$W$万元。
$\therefore W = P - 6.2x - m=-\frac{1}{5}x^{2}+16x - 6.2x-(50 + 0.2x)=-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{48}{5}x - 50=-\frac{1}{5}(x - 24)^{2}+65.2$。
$\because-\frac{1}{5}＜0$，$\therefore$当$x = 24$时，$W$有最大值，最大值为$65.2$。
$\therefore$当原料的质量为$24$吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是$65.2$万元。