《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

14. （2023·宿迁）某商场销售$A$，$B$两种商品，每件进价均为$20$元.调查发现，如果售出$A$种商品$20$件，$B$种商品$10$件，销售总额为$840$元；如果售出$A$种商品$10$件，$B$种商品$15$件，销售总额为$660$元.
（1）求$A$，$B$两种商品的销售单价.
（2）经市场调研，$A$种商品按原销售单价销售，可售出$40$件，若销售单价每降价$1$元，销售量可增加$10$件；$B$种商品的销售单价不变，$A$种商品销售单价不低于$B$种商品销售单价.设$A$种商品的销售单价降低$m$元，如果$A$，$B$两种商品销售量相同，那么当$m$取何值时，商场销售$A$，$B$两种商品可获得的总利润最大？最大利润是多少？

答案： 14.
(1)设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元.由题意，可得$\begin{cases}20a+10b=840,\\10a+15b=660,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=30,\\b=24.\end{cases}$
∴A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元
(2)设利润为w元.由题意，可得w=(30−m−20)(40+10m)+(24−20)(40+10m)=−10(m−5)²+810.
∵A种商品销售单价不低于B种商品销售单价，
∴30−m≥24,解得m≤6.
∴当m=5时，w取得最大值，最大值为810.
∴当m取5时，商场销售A,B两种商品可获得的总利润最大，最大利润是810元

15. （2023·扬州）在平面直角坐标系中，已知点$A$在$y$轴正半轴上.
（1）如果四个点$(0,0)$，$(0,2)$，$(1,1)$，$(-1,1)$中恰有三个点在二次函数$y = ax^{2}$（$a$为常数，且$a\neq0$）的图象上.
①求$a$的值.
②如图①，菱形$ABCD$的顶点$B$，$C$，$D$在该二次函数的图象上，且$AD\perp y$轴于点$A$，求菱形$ABCD$的边长.
③如图②，正方形$ABCD$的顶点$B$，$D$在该二次函数的图象上，点$B$，$D$在$y$轴的同侧，且点$B$在点$D$的左侧.设点$B$，$D$的横坐标分别为$m$，$n$，试探究$n - m$是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由.
（2）已知正方形$ABCD$的顶点$B$，$D$在二次函数$y = ax^{2}$（$a$为常数，且$a\gt0$）的图象上，点$B$在点$D$的左侧.设点$B$，$D$的横坐标分别为$m$，$n$，求出$m$，$n$满足的等量关系式.

答案：
15.
(1)①在y=ax²中，令x=0,得y=0.
∴点(0,0)在二次函数y=ax²(a为常数，且a≠0)的图象上，点(0,2)不在二次函数y=ax²(a为常数，且a≠0)的图象上.
∵四个点(0,0),(0,2),(1,1),(−1,1)中恰有三个点在二次函数y=ax²(a为常数，且a≠0)的图象上，
∴在二次函数y=ax²(a为常数，且a≠0)的图象上的三个点是(0,0),(1,1),(−1,1).把(1,1)代入y=ax²,得a=1.
∴a=1
②设BC交y轴于点E,菱形的边长为2t,则AB=BC=CD=AD=2t.
∵点B,C关于y轴对称，
∴BE=CE=t.
∴B(−t,t²).
∴OE=t².
∵AE=$\sqrt{AB²−BE²}$=$\sqrt{3}$t,
∴OA=OE+AE=t²+$\sqrt{3}$t.
∴D(2t,t²+$\sqrt{3}$t).把D(2t,t²+$\sqrt{3}$t)代入y=x²,得t²+$\sqrt{3}$t=4t²,解得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或t=0(不合题意，舍去).
∴菱形ABCD的边长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
③n−m是定值
过点B作BF⊥y轴于点F,过点D作DE⊥y轴于点E,如图①.
∵点B,D的横坐标分别为m,n,
∴B(m,m²),D(n,n²).
∴BF=m,OF=m²,DE=n,OE=n².
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°,AB=DA.
∴∠FAB=90°−∠EAD=∠EDA.
∵∠AFB=∠DEA=90°,
∴△ABF≌△DAE.
∴BF=AE,AF=DE.
∴m=n²−AF−m²,AF=n.
∴m+n=(n−m)(n+m).
∵点B,D在y轴的同侧，
∴m+n≠0.
∴n−m=1
(2)过点B作BF⊥y轴于点F,过点D作DE⊥y轴于点E.
∵点B,D的横坐标分别为m,n,
∴B(m,am²),D(n,an²).
①当点B,D在y轴左侧时，如图②.
∴BF=−m,OF=am²,DE=−n,OE=an².
同理，可得△ABF≌△DAE.
∴BF=AE,AF=DE.
∴−m=am²−AF−an²,AF=−n.
∴−m=am²+n−an².
∴m+n=a(n−m)(n+m).
∵m+n≠0,
∴n−m=$\frac{1}{a}$.
②当点B在y轴左侧，点D在y轴右侧时，如图③.
∴BF=−m,OF=am²,DE=n,OE=an².
同理，可得△ABF≌△DAE.
∴BF=AE,AF=DE.
∴−m=am²+AF−an²,AF=n.
∴−m=am²+n−an².
∴m+n=a(n+m)(n−m).
∴m+n=0或n−m=$\frac{1}{a}$.
③当点B,D在y轴右侧时，如图④.
∴BF=m,OF=am²,DE=n,OE=an².
同理，可得△ABF≌△DAE.
∴BF=AE,AF=DE.
∴m=an²−AF−am²,AF=n.
∴m=an²−n−am².
∴m+n=a(n+m)(n−m).
∵m+n≠0,
∴n−m=$\frac{1}{a}$.
④如图⑤，当点B与点O重合时，m=0.
∵D(n,an²),
∴OA=an²,AB=−m.
∴am²=−m.
∴m=−$\frac{1}{a}$.
∴n−m=$\frac{1}{a}$.
⑤如图⑥，当点D与点O重合时，n=0.
∵B(m,am²),
∴OA=am²,AB=−m.
∴am²=−m.
∴m=−$\frac{1}{a}$.
∴n−m=$\frac{1}{a}$.
综上所述，m,n满足的等量关系式为m+n=0或n−m=$\frac{1}{a}$