《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

1. (广州中考改编)方程 $x^{2}-4x = 0$ 的解是(B)

A.$x = 4$
B.$x_{1}=0,x_{2}=4$
C.$x = 0$
D.$x_{1}=2,x_{2}=-2$

答案： B

2. (怀化中考)对于一元二次方程 $2x^{2}-3x + 4 = 0$，下列说法正确的是(A)

A.无实数根
B.两根之和是 3
C.两根之积是$-2$
D.有两个不等的实数根

答案： A

3. (海南中考)用配方法解方程 $x^{2}-6x + 5 = 0$，配方后所得的方程是$(x + m)^{2}=n$，则 $mn=$-12.

答案： -12

4. (泰安中考改编)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-(2k - 1)x + k - 2 = 0$ 有两个不等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是k＞-\frac{1}{4}且k≠0.

答案： $k＞-\frac{1}{4}$且k≠0

5. 代数式 $x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 7$ 的最小值是2.

答案： 2

6. 已知 $m,n$ 是方程 $x^{2}+x - 1 = 0$ 的根，则 $m^{2}+2m + n - mn=$1.

答案： 1

7. (黔西南中考)三角形两边的长分别为 2 和 5，第三边的长是方程 $x^{2}-8x + 15 = 0$ 的根，则该三角形的周长为12.

答案： 12

8. 选择适当的方法解下列方程：
（1）$2(x - 1)^{2}=18$；
（2）$x^{2}+2x - 2 = 0$；
（3）$y^{2}+2y = 3599$.

答案： $(1) x_{1}=4,x_{2}=-2 (2) x_{1}=-1+\sqrt{3},x_{2}=-1-\sqrt{3} (3) y_{1}=59,y_{2}=-61$

9. （2023·杭州）已知一元二次方程 $x^{2}+bx + c = 0$.在下列四组条件中选择其中一组 $b,c$ 的值，使这个方程有两个不等的实数根，并解这个方程.
① $b = 2,c = 1$；② $b = 3,c = 1$；③ $b = 3,c = -1$；④ $b = 2,c = 2$.

答案： 答案不唯一，如选②.
∵ b=3,c=1,
∴$ b^{2}-4ac=3^{2}-4×1×1=5＞0. $
∴ 方程有两个不等的实数根.当b=3,c=1时，方程为$x^{2}+3x+1=0，$解得$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}，$$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$

10. （2023·荆州）已知关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-(2k + 4)x + k - 6 = 0$ 有两个不等的实数根.
（1）求 $k$ 的取值范围；
（2）当 $k = 1$ 时，用配方法解方程.

答案：
(1) 依题意，得$\begin{cases}k≠0,\\[-(2k + 4)]^{2}-4k(k - 6)＞0,\end{cases} $解得$k＞-\frac{2}{5}$且k≠0
(2) 当k = 1时，原方程为$x^{2}-6x -5=0，$配方为$(x - 3)^{2}=14. $
∴$ x - 3 = ±\sqrt{14}. $
∴ 方程的根为$x_{1}=3+\sqrt{14},x_{2}=3-\sqrt{14}$